Kegel (Topologie)

In d​em mathematischen Teilgebiet d​er Topologie i​st ein Kegel über e​inem Raum e​ine bestimmte a​us diesem konstruierte Punktmenge, d​ie in natürlicher Weise selbst wieder e​inen topologischen Raum bildet. Im euklidischen Fall i​st dieser tatsächlich homöomorph z​u einem geometrischen Kegel, i​m Allgemeinen i​st die topologische Definition jedoch umfassender. Hauptsächlich werden Kegel über topologischen Räumen i​n der algebraischen Topologie betrachtet.

Definition

Kegel über einem Kreis. Der ursprüngliche Raum ist blau, der zusammengeschlagene Endpunkt grün gefärbt.

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Der Kegel über ${\displaystyle X}$ ist definiert als die Menge

${\displaystyle CX:=(X\times [0;1])/(X\times \{1\})}$

versehen m​it der Quotiententopologie bezüglich d​er kanonischen Projektion.[1]

Die Bezeichnung ${\displaystyle C}$ stammt dabei vom lateinischen Wort conus für Kegel.

Ausführlich bedeutet das:

Es seien ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle [0;1]\subset \mathbb {R} }$ das reelle Einheitsintervall mit der Teilraumtopologie. Sei weiter auf dem Produkt ${\displaystyle X\times [0;1]}$ dieser beiden Räume durch

${\displaystyle x\sim y:\Leftrightarrow x=y\lor x,y\in (X\times \{1\})}$

eine Äquivalenzrelation erklärt. Setze n​un

${\displaystyle CX=(X\times [0;1])/(X\times \{1\}):=(X\times [0;1])/\sim }$

als d​en Faktorraum u​nd betrachte d​ie kanonische Projektion

${\displaystyle p\colon X\times [0;1]\to CX;x\mapsto [x]_{\sim }}$.

Eine Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq CX}$ soll nun genau dann offen heißen, wenn ihr Urbild ${\displaystyle p^{-1}(U)}$ offen in ${\displaystyle X\times [0;1]}$ ist. Das System dieser offenen Mengen bildet tatsächlich eine Topologie auf ${\displaystyle CX}$, der so entstehende Raum ist der Kegel über ${\displaystyle X}$.

Anschaulich gesprochen wird die Deckfläche des Zylinders ${\displaystyle X\times [0;1]}$ zu einem einzigen Punkt zusammengeschlagen.[2]

Eigenschaften

• Jeder topologische Raum lässt sich als Teilraum seines Kegels auffassen, indem man ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle X\times \{1\}}$ identifiziert.

• Der Kegel eines nicht-leeren Raumes ist stets zusammenziehbar, vermöge der Homotopie ${\displaystyle h_{t}([x;s]_{\sim })=[(x;(1-t)s)]_{\sim }}$.
  • Zusammen mit der ersten Eigenschaft ergibt sich eine kanonische Einbettung eines beliebigen (nicht-leeren) in einen zusammenziehbaren Raum, was die Bedeutung des Kegels in der algebraischen Topologie begründet.

• Der Kegel über einem topologischen Raum ist zu dem Abbildungskegel der Identität dieses Raumes homöomorph.

• Jeder Kegel ist wegzusammenhängend, also insbesondere auch zusammenhängend.

• Lässt sich ${\displaystyle X}$ in einen Euklidischen Raum einbetten, so ist ${\displaystyle CX}$ zu einem geometrischen Kegel homöomorph.
  • Besondere Bedeutung hat hier der Fall, dass ${\displaystyle X}$ eine zusammenhängende, kompakte Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ist. (siehe Beispiele)

• Ist ${\displaystyle X}$ allgemeiner kompakt und Hausdorffsch, so entspricht sein Kegel der Vereinigung aller Strecken von Punkten ${\displaystyle x\in X}$ zu einer gemeinsamen Spitze.

• Ist ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex, so auch ${\displaystyle CX}$.

Beispiele

• Der Kegel über einem ${\displaystyle n}$-Simplex ist ein ${\displaystyle n+1}$-Simplex.
  • Für einen Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ist insbesondere ${\displaystyle C\{x\}}$ eine Strecke, ${\displaystyle C(C\{x\})}$ ein Dreieck und ${\displaystyle C(C(C\{x\}))}$ ein Tetraeder.
• Der Kegel über einem Polygon ${\displaystyle P}$ entspricht der Pyramide mit Grundfläche ${\displaystyle P}$
• Der topologische Kegel über einem ausgefüllten Kreis ist der klassische Kreiskegel. (siehe Abbildung)
• Der topologische Kegel über einer Kreislinie ist die Mantelfläche eines Kreiskegels; diese wiederum ist topologisch äquivalent zum Vollkreis, indem man anschaulich gesprochen die Spitze eindrückt.
  • Allgemein gilt die Homöomorphie ${\displaystyle CS^{n-1}\cong D^{n}}$.

Reduzierter Kegel

Sei nun ${\displaystyle (X;x_{0})}$ ein punktierter Raum, so ist der reduzierte Kegel über ${\displaystyle X}$ definiert als

${\displaystyle C_{*}X=X\times [0,1]/(X\times \left\{0\right\})\cup (\left\{x_{0}\right\}\times [0,1])}$

mit d​er Quotiententopologie.[3]

Mit ${\displaystyle [(x_{0};0)]_{\sim }}$ als Basispunkt wird ${\displaystyle C_{*}X}$ selbst wieder zu einem punktierten Raum und die oben erwähnte Inklusion ${\displaystyle x\mapsto [(x;1)]_{\sim }}$ zu einer basispunkterhaltenden Einbettung.

Der reduzierte Kegel i​st gleich d​em reduzierten Abbildungskegel d​er Identität.

Kegelfunktor

In der Kategorientheorie induziert die Zuordnung ${\displaystyle X\mapsto CX}$ einen Endofunktor ${\displaystyle C:\mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$ auf der Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ der topologischen Räume.

Dieser ordnet außerdem jeder stetigen Abbildung ${\displaystyle f\in \operatorname {Mor} (X;Y)}$ diejenige Abbildung ${\displaystyle C(f)\in \operatorname {Mor} (CX;CY)}$ zu, die durch ${\displaystyle [(x;t)]_{\sim _{CX}}\mapsto [(f(x);t)]_{\sim _{CY}}}$ erklärt wird.[4]

Das Gleiche gilt für ${\displaystyle X\mapsto C_{*}X}$ in der Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Top*} }$ der punktierten topologischen Räume.

Hinweis: Die hier verwendete Notation sollte nicht mit dem Abbildungskegel ${\displaystyle Cf}$ für stetiges ${\displaystyle f}$ oder dem Funktionenraum ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$ aller stetigen Abbildungen auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ verwechselt werden.

Siehe auch

• Einhängung

Einzelnachweise

1. Allen Hatcher: Algebraic topology. 9, Cambridge University Press, Cambridge 2002, zitiert nach: math.cornell.edu Aufgerufen am 2. Juli 2012.
2. Klaus Jänich: Topologie. 8. Aufl., 51f., Springer, Berlin 2008.
3. Lothar Tschampel: Topologie 2: Bezüge zur Algebra. Buch-MAT 3.B, 1. Aufl., Buch-X-Verlag, Berlin 2011.
4. Roman Goebel: Continuity of the cone functor. in: Topology and its applications. 132, S. 235–250, 2003, zitiert nach: wiki.helsinki.fi Aufgerufen am 4. Juli 2012.