k·p-Methode

Die k·p-Methode (auch KP-Methode) i​st eine störungstheoretische Methode d​er Quantenmechanik z​ur Berechnung d​er elektronischen Bandstruktur e​ines Festkörpers. Sie bietet e​ine Näherung d​er Lösung d​er Schrödinger-Gleichung für Elektronen i​n Halbleitern u​nd anderen kristallinen Festkörpern. Die Methode erlaubt s​o auch d​as elektronische Verhalten v​on Bauteilen d​er Mikroelektronik z​u simulieren.

Die Bezeichnung stammt daher, dass in den Energien der einzelnen Energiebänder ein Ausdruck der Form ${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {p}}}$ auftritt, also das Skalarprodukt aus dem Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}}$ und dem quantenmechanischen Impulsoperator ${\displaystyle {\vec {p}}}$.

Beschreibung

Die Methode basiert a​uf einer Beschreibung d​er Elektronen a​ls nicht miteinander wechselwirkende Teilchen i​n einem periodischen effektiven Potential. Dieses beinhaltet d​ie Wechselwirkung d​es beschriebenen Elektrons m​it den Elektronen u​nd Atomkernen d​es Festkörpers.

Ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$ des Elektrons im reziproken Raum aus anderen Methoden (z. B. der Dichtefunktionaltheorie) bekannt, so kann die Elektronen-Energie für Werte von ${\displaystyle {\vec {k}}}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$ als Störung dieser Lösung bestimmt werden. Aus der Veränderung der Energie (Eigenwerte des in der Schrödinger-Gleichung auftretenden Hamilton-Operators) mit dem Wellenvektor ist dann die gesuchte Bandstruktur des Festkörpers bestimmt.

Ansatz

Die Wellenfunktion d​es Elektrons genügt i​n der Ein-Teilchen-Näherung d​er Schrödinger-Gleichung:

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})\right)\psi ({\vec {r}})=E\,\psi ({\vec {r}})}$

mit

• dem quantenmechanischen Impulsoperator ${\displaystyle {\vec {p}}}$
• der Masse ${\displaystyle m}$ des Elektrons
• dem effektiven elektrostatischen Potential ${\displaystyle V}$, das in einem kristallinen Material eine periodische Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall selbst ist.

Blochs Theorem besagt nun, d​ass die Lösung e​iner solchen periodischen Differentialgleichung w​ie folgt geschrieben werden kann:

${\displaystyle \psi _{n,{\vec {k}}}({\vec {r}})=e^{\mathrm {i} {\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\,u_{n,{\vec {k}}}({\vec {r}})}$

dabei ist

• ${\displaystyle n}$ ein diskreter Bandindex
• ${\displaystyle {\vec {k}}}$ der Wellenvektor
• ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die imaginäre Einheit
• ${\displaystyle u_{n,{\vec {k}}}}$ eine Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall.

Setzt man ${\displaystyle \psi _{n,{\vec {k}}}}$ in die Einteilchen-Schrödinger-Gleichung ein, so erhält man die folgende Differentialgleichung für ${\displaystyle u_{n,{\vec {k}}}}$:

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {p}}}{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})\right)u_{n,{\vec {k}}}=E_{n,{\vec {k}}}u_{n,{\vec {k}}}}$

mit dem reduzierten planckschen Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar }$.

Für einen Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}}$, für den die Lösungen bekannt sind (oft am Γ-Punkt ${\displaystyle {\vec {k}}_{0}=0}$), behandelt die k·p-Methode nun den Term

${\displaystyle {\frac {\hbar ({\vec {k}}-{\vec {k}}_{0})\cdot {\vec {p}}}{m}}}$

in obiger Gleichung a​ls Störung (daher d​er Name). Ziel d​er Störungsrechnung i​st es, näherungsweise Ausdrücke für d​ie Energieeigenwerte u​nd die zugehörigen Eigenzustände z​u finden.

Die Energien und Eigenzustände werden mit zunehmender Ordnung zwar genauer, die Gleichungen jedoch immer komplexer. Man approximiert daher die gesuchten Ausdrücke mit Störungen zweiter Ordnung. Für alle betrachteten Zustände ${\displaystyle u_{n,{\vec {k}}}}$ erhält man Gleichungen, in denen Wechselwirkungsterme in Form von Übergangsmatrixelementen zwischen den betrachteten Zuständen und allen anderen Zuständen ${\displaystyle u_{n',{\vec {k}}}}$ auftreten. Man erhält also ${\displaystyle n}$ Gleichungen mit jeweils ${\displaystyle n'}$ Wechselwirkungstermen.

Für direkte Anwendungen betrachtet man nur Zustände in der Nähe der Bandlücke, womit die Anzahl der Gleichungen reduziert wird. Des Weiteren nutzt man in kristallinen Schichten die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Kristallsysteme in Form der Gruppentheorie, um mit deren Hilfe viele der Wechselwirkungsterme zu effektiven Termen zusammenzufassen und somit die Anzahl der Wechselwirkungsterme weiter stark zu reduzieren. Schließlich ergeben sich relativ wenige Gleichungen, welche man kompakt als Matrix darstellt, um anschließend die gesuchten Energieeigenwerte ${\displaystyle E_{n,{\vec {k}}}}$ und die zugehörigen Eigenzustände ${\displaystyle \psi _{n,{\vec {k}}}}$ zu berechnen.

Aus den Eigenwerten lassen sich dann Ausdrücke für die Dispersion ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E_{n,{\vec {k}}}}$, die effektive Masse der Elektronen und Auswahlregeln für die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollständigen Rechnung bestimmen.

Wichtig ist sie insbesondere im Fall entarteter Bänder, da der ${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {p}}}$-Term die Bänder miteinander koppelt, die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln für optische Übergänge zwischen den Bändern bestimmt.

Literatur

• M. S. Dresselhaus: Group Theory – Application to the Physics of Condensated Matter. Springer Verlag, Heidelberg 2008 (Anm.: Anspruchsvolles Fachbuch, in der die KP-Theorie systematisch abgeleitet wird).
• Dorothy G. Bell: Group Theory and Crystal Lattices. In: Reviews of Modern Physics. Band 26, Nr. 3, 1. Juli 1954, S. 311–320, doi:10.1103/RevModPhys.26.311.
• C. Kittel: Quantentheorie des Festkörpers. R. Oldenbourg Verlag, München 1970, S. 201 ff.
• I. J. Robertson, M. C. Payne: k-point sampling and the k.p method in pseudopotential total energy calculations. In: J. Phys.: Condens. Matter. 2, 1990, S. 9837–9852, doi:10.1088/0953-8984/2/49/010.
• W. Schäfer, M. Wegener: Semiconductor Optics and Transport Phenomena. Springer, 2002, ISBN 3-540-61614-4, S. 72ff.
• Christian Köpf: Die k·p-Methode. In: Modellierung des Elektronentransports in Verbindungshalbleiterlegierungen. Wien 1997 (Dissertation, Technischen Universität Wien, online, abgerufen am 22. Januar 2010).