Impulsoperator

Der Impulsoperator ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ist in der Quantenmechanik der Operator zur Impulsmessung von Teilchen. In der Ortsdarstellung ist der Impulsoperator in einer Dimension gegeben durch:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\mathrm {\hbar } }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}$

Dabei bezeichnet

• ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die Imaginäre Einheit
• ${\displaystyle \hbar }$ die reduzierte Planck-Konstante und
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$ die partielle Ableitung in Richtung der Ortskoordinate ${\displaystyle x}$.

Mit dem Nabla-Operator ${\displaystyle \nabla }$ erhält man in drei Dimensionen den Vektor:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-\mathrm {i} \hbar \nabla }$

Der physikalische Zustand ${\displaystyle \Psi \,}$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ dargestellt. Speziell ist der Impuls-Operator die Zusammenfassung der drei Observablen ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=({\hat {p}}_{1},{\hat {p}}_{2},{\hat {p}}_{3})}$, so dass

${\displaystyle E({\hat {p}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {p}}_{j}\,|\Psi \rangle \,\quad j=1,2,3}$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Komponente des Impulses des Teilchens im Zustand ${\displaystyle \Psi }$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Bei der kanonischen Quantisierung deutet man die Phasenraumkoordinaten, also den Ort ${\displaystyle x}$ und den Impuls ${\displaystyle p}$ des klassischen Systems, als selbstadjungierte Operatoren eines Hilbertraums und fordert für diese Orts- und Impulsoperatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen:

${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{ij}\,\quad [{\hat {x}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=0=[{\hat {p}}_{i},{\hat {p}}_{j}]\ ,\quad i,j\in \{1,2,3\}}$

in Analogie zu den Poisson-Klammern der Hamiltonschen Formulierung

${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}\,\quad \{x_{i},x_{j}\}=0=\{p_{i},p_{j}\}\,.}$

Der Faktor ${\displaystyle \hbar }$ ist aus Dimensionsgründen erforderlich, denn Ort mal Impuls hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung. Die imaginäre Einheit ${\displaystyle {\rm {i}}}$ muss auftreten, da ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$ und ${\displaystyle {\hat {p}}_{j}}$ selbstadjungiert sind und ihr Kommutator daher bei Adjunktion sein Vorzeichen wechselt.

• Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen folgt, dass die drei Komponenten des Impulses gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ besteht. Die möglichen Impulse sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
• Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )}$ ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3};}$ jeder Zustand ${\displaystyle \Psi }$ ist durch eine Ortswellenfunktion ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ gegeben. Die Ortsoperatoren ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})}$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator ${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$ wirkt auf Ortswellenfunktionen durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion ${\displaystyle x_{i}}$:

${\displaystyle ({\hat {x}}_{i}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{i}\,\psi (\mathbf {x} )\,.}$

Der mathematische Satz von Stone und von Neumann besagt dann, dass bei geeigneter Wahl von Phasen der Impulsoperator, der in den kanonischen Vertauschungsrelationen auftritt, auf Ortswellenfunktionen als Differentialoperator wirkt:

${\displaystyle ({\hat {p}}_{j}\psi )(\mathbf {x} )=-{\rm {i}}\,\hbar \,\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi \right)(\mathbf {x} )\,.}$

Sein Erwartungswert ist:

${\displaystyle E({\hat {p}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {p}}_{j}\,|\Psi \rangle =\int {\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,\left(-\mathrm {i} \,\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi (\mathbf {x} )\right)\,\mathrm {d} ^{3}x\,.}$

• In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf quadratintegrierbare Impulswellenfunktionen ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}$:

${\displaystyle ({\hat {p}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{j}\,{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )}$

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator:

${\displaystyle ({\hat {x}}_{i}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,\left({\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\tilde {\psi }}\right)(\mathbf {p} )\,.}$

• Die Orts- und Impulsoperatoren sind Linearkombinationen von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren:

${\displaystyle {\hat {x}}_{i}=l_{i}{\frac {a_{i}+a_{i}^{\dagger }}{\sqrt {2}}}\,\quad {\hat {p}}_{j}={\frac {\hbar }{l_{j}}}{\frac {a_{j}-a_{j}^{\dagger }}{{\sqrt {2}}\,\mathrm {i} }}\,.}$

Dabei sind ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}}$ frei wählbare Längen (größer Null) und die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren genügen den kanonischen Vertauschungsrelationen:

${\displaystyle [a_{i},a_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij}\,\quad [a_{i},a_{j}]=0=[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]\,\quad i,j\in \{1,2,3\}\,.}$

Warum ist der Impulsoperator in Ortsdarstellung ein Differentialoperator?

Nach d​em Noether-Theorem gehört z​u jeder kontinuierlichen Symmetrie d​er Wirkung e​ine Erhaltungsgröße. Umgekehrt impliziert j​ede Erhaltungsgröße d​ie Existenz e​iner (mindestens infinitesimalen) Symmetrie d​er Wirkung. Beispielsweise i​st der Impuls g​enau dann erhalten, w​enn die Wirkung translationsinvariant ist. In d​er Hamiltonschen Formulierung erzeugt d​ie Erhaltungsgröße d​ie Symmetrietransformation i​m Phasenraum d​urch ihre Poisson-Klammer, d​er Impuls erzeugt Verschiebungen.

Auf eine Wellenfunktion ${\displaystyle \psi }$ angewendet, ergibt jede Verschiebung um ${\displaystyle a}$ die verschobene Funktion ${\displaystyle (T_{a}\,\psi )}$, die an jeder Stelle ${\displaystyle x}$ den Wert hat, den ${\displaystyle \psi }$ am Urbild ${\displaystyle x-a}$ hatte,

${\displaystyle (T_{a}\,\psi )(x)=\psi (x-a)=\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{n!}}\left(-a{\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{n}}\psi =\exp \left(-a{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi }$ (also: über Taylorreihe zu einer formalen Exponentialfunktion).

Der infinitesimale Erzeuger dieser einparametrigen Schar von Verschiebungen definiert also bis auf einen Faktor ${\displaystyle -\mathrm {i} /\hbar }$ den Impuls, das heißt, der Impuls ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$ erfüllt definitionsgemäß

${\displaystyle T_{a}\,\psi =\exp \left(-a{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi =\exp {\left(-{\rm {i}}\,a{\frac {{\hat {p}}_{x}}{\hbar }}\right)}\,\psi \,.}$

Dabei tritt der Faktor ${\displaystyle \hbar }$ aus Dimensionsgründen auf, denn das Produkt von Impuls und Ort hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung. Die imaginäre Einheit ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ist erforderlich, da ${\displaystyle T_{a}}$ ein unitärer Operator ist und der Impuls selbstadjungiert sein soll. Leitet man die Gleichung

${\displaystyle \left(\exp {\left(-{\rm {i}}\,{\frac {{\hat {p}}_{j}\,a^{j}}{\hbar }}\right)}\,\psi \right)(x)=\psi (x-a)}$

nach ${\displaystyle a^{j}}$ bei ${\displaystyle a=0}$ ab, so ergibt sich der Impulsoperator als Ableitung nach dem Ort,

${\displaystyle ({\hat {p}}_{j}\,\psi )(x)=\left.\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial a^{j}}}\right|_{a=0}\psi (x-a)=-\mathrm {i} \,\hbar {\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\psi (x)\,.}$

Dass der Impulsoperator im Ortsraum diese Form annimmt, lässt sich auch ohne die Kenntnis des zugehörigen unitären Operators ${\displaystyle T_{a}}$ wie folgt aus dem Noether-Theorem ablesen: Man rekonstruiert zunächst aus der Schrödingergleichung die zugehörige Lagrange-Dichte und bestimmt dann explizit den bei einer infinitesimalen Verschiebung der Wellenfunktion erhaltenen Erwartungswert.

Literatur

• Torsten Fließbach: Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.
• Richard Feynman: Feynman Vorlesungen über Physik, Bd. 3, Quantenmechanik. Oldenbourg, 2007, ISBN 978-3-486-58109-6.