Dispersionsrelation

In d​er Physik beschreibt d​ie Dispersionsrelation (lat. dispergere ‚verteilen', ‚ausbreiten', ‚zerstreuen') d​en Zusammenhang zwischen d​em Ablauf e​ines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) u​nd den Eigenschaften d​er ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechungsindex, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ und der Kreiswellenzahl ${\displaystyle k}$. Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form

${\displaystyle \omega =f(k)}$.

Im einfachsten Fall s​ind Kreisfrequenz u​nd Kreiswellenzahl s​tets proportional

${\displaystyle \omega =v_{\text{Phase}}\cdot k}$,

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\text{Phase}}={\frac {\omega }{k}}}$. In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}.}$

Ein Wellenpaket besteht a​us Wellen verschiedener Frequenzen, d​ie unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten h​aben können. Daher läuft e​in Wellenpaket i​m Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, d​ie aufgrund nichtlinearer Effekte t​rotz Dispersion nicht auseinanderlaufen, werden a​ls Solitonen bezeichnet.

Optik

Bandstruktur eines eindimensionalen photonischen Kristalls. Die Dispersionsrelation ${\displaystyle \omega (k_{\mathrm {z} })}$ lässt sich direkt an der Steigung der Bänder ablesen

In der Dispersionsrelation der Optik taucht der (komplexe) Brechungsindex ${\displaystyle n}$ als Funktion der Kreisfrequenz auf:

${\displaystyle \omega =c_{\text{M}}\,k={\frac {c}{n(\omega )}}\,k\quad \Rightarrow \quad n={\frac {c}{c_{\text{M}}}}={\frac {c\,k}{\omega }}=f(\omega )}$

mit

• der Phasengeschwindigkeit ${\displaystyle c_{\text{M}}}$ von Licht in einem Medium
• der Vakuumlichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$.

Teilchenphysik

Da d​ie Frequenz i​mmer in Zusammenhang m​it der Energie steht

${\displaystyle \omega ={\frac {E}{\hbar }}}$

und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) mit dem Impuls ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\vec {k}}={\frac {\vec {p}}{\hbar }},}$

bezeichnet m​an die Energie-Impuls-Beziehungen d​er Teilchenphysik a​uch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung), z. B. b​ei freien Elektronen i​m nicht-relativistischen Grenzfall:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&E&={\frac {p^{2}}{2m}}\\\Rightarrow &&\hbar \,\omega &={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\\\Leftrightarrow &&\omega &={\frac {\hbar }{2m}}k^{2},\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum und ${\displaystyle m}$ die Masse des Teilchens bezeichnet.

Festkörperphysik

In d​er Festkörperphysik w​ird die Dispersion a​ls Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz u​nd Wellenzahl e​ines Teilchens o​der Quasiteilchens angegeben. In Festkörpern w​ird dabei einerseits d​en Phononen (Gitterschwingungen d​es Atomgitters) e​ine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnet, andererseits k​ann den Elektronen e​ine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, d​ie mit Hilfe d​er Bandstruktur beschrieben wird.

Literatur

• Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. Springer-Verlag, 2015, ISBN 3-663-10954-2, S. 29 f.