Konvergenzgruppe

In d​er Mathematik s​ind Konvergenzgruppen e​in Begriff a​us der Theorie d​er Dynamischen Systeme, d​er es ermöglicht, hyperbolische Gruppen mittels dynamischer (statt geometrischer) Methoden z​u untersuchen.

Definition

Es sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine auf einem kompakten, metrisierbaren Raum ${\displaystyle X}$ stetig wirkende Gruppe. Die Wirkung heißt eine Konvergenzwirkung (und ${\displaystyle \Gamma }$ eine Konvergenzgruppe), wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

zu jeder Folge ${\displaystyle (g_{n})_{n}\subset \Gamma }$ gibt es eine Teilfolge ${\displaystyle (g_{n_{i}})_{i}}$ und zwei Punkte ${\displaystyle a,b\in X}$, so dass ${\displaystyle g_{n_{i}}\vert _{X\setminus \left\{a\right\}}}$ auf kompakten Mengen gleichmäßig gegen ${\displaystyle b}$ konvergiert.

Die letzte Bedingung bedeutet: für jede offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle b}$ und jede kompakte Teilmenge ${\displaystyle K\subset X\setminus \left\{a\right\}}$ gibt es ein ${\displaystyle i_{0}}$ mit ${\displaystyle g_{n_{i}}(K)\subset U}$ für alle ${\displaystyle i\geq i_{0}}$.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass ${\displaystyle \Gamma }$ eigentlich diskontinuierlich auf dem Raum der Tripel

${\displaystyle T(X)=\left\{(a,b,c)\in X^{3}:a\not =b,a\not =c,b\not =c\right\}}$

wirkt.

Klassifikation von Elementen

Ein nichttriviales Element ${\displaystyle \gamma }$ einer auf einem kompakten, metrischen Raum wirkenden Konvergenzgruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ist von genau einem der drei folgenden Typen:

• elliptisch: ${\displaystyle \gamma }$ hat endliche Ordnung,
• parabolisch: ${\displaystyle \gamma }$ hat unendliche Ordnung und genau einen Fixpunkt,
• loxodromisch: ${\displaystyle \gamma }$ hat unendliche Ordnung und genau zwei Fixpunkte.

Für ${\displaystyle k\not =0}$ haben ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ denselben Typ.

Wenn ${\displaystyle \gamma }$ parabolisch mit Fixpunkt ${\displaystyle a}$ ist, dann gilt ${\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }\gamma ^{n}x=a}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.

Wenn ${\displaystyle \gamma }$ loxodromisch mit Fixpunkten ${\displaystyle a_{\pm }}$ ist, dann gilt ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=a_{-}}$ für alle ${\displaystyle x\not =a_{+}}$ und ${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{+}}$ für alle ${\displaystyle x\not =a_{-}}$ und diese Konvergenz ist gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von ${\displaystyle X\setminus \left\{a_{-},a_{+}\right\}}$.

Limesmenge

Die Limesmenge von ${\displaystyle \Gamma }$ ist eine minimale, nichtleere, abgeschlossene, ${\displaystyle \Gamma }$-invariante Teilmenge ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )\subset X}$. Die Konvergenzgruppe heißt nichtelementar, wenn ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ aus mehr als zwei Punkten besteht. In diesem Fall ist ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ eine perfekte Menge und insbesondere unendlich.

Die Konvergenzwirkung heißt minimal, wenn ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )=X}$.

Ein konischer Grenzpunkt ist ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$, zu dem es eine Folge unterschiedlicher Elemente ${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$ und Punkte ${\displaystyle a_{\pm }\in X}$ gibt mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}x=a_{+}}$ und ${\displaystyle \gamma _{n}\mid _{X\setminus \left\{x\right\}}}$ konvergiert gleichmäßig auf Kompakta gegen die Abbildung, die konstant ${\displaystyle a_{-}}$ ist. Zum Beispiel sind Fixpunkte einer loxodromischen Abbildung konische Grenzpunkt.

Hyperbolische Gruppen, Gleichmäßige Konvergenzgruppen

Eine Konvergenzgruppe heißt gleichmäßige Konvergenzgruppe oder uniforme Konvergenzgruppe, wenn die Wirkung auf ${\displaystyle TX}$ zusätzlich kokompakt ist. Eine äquivalente Bedingung ist, dass jeder Limespunkt ein konischer Limespunkt ist.

Satz (Bowditch): Eine auf einem perfekten, kompakten, metrischen Raum wirkende Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ist genau dann eine gleichmäßige Konvergenzgruppe, wenn ${\displaystyle \Gamma }$ eine hyperbolische Gruppe und die Konvergenzwirkung mittels eines ${\displaystyle \Gamma }$-äquivarianten Homöomorphismus zur Wirkung von ${\displaystyle \Gamma }$ auf dem Gromov-Rand ${\displaystyle \partial _{\infty }\Gamma }$ konjugiert ist.

Anwendungen

Die Konvergenzeigenschaft w​urde ursprünglich i​m Kontext Kleinscher Gruppen v​on Gehring-Martin eingeführt, u​m die Eigenschaften d​er Wirkung e​iner Kleinschen Gruppe a​uf ihrer Limesmenge z​u axiomatisieren.

Die Konvergenzwirkung e​iner hyperbolischen Gruppe a​uf ihrem Rand i​m Unendlichen ermöglicht es, v​iele algebraische Aussagen über hyperbolische Gruppen o​hne Verwendung "hyperbolischer" Geometrie z​u beweisen.[1], z​um Beispiel b​eim Beweis d​er JSJ-Zerlegung o​der der lokalen Zusammenhangseigenschaften d​es Randes i​m Unendlichen.

Konvergenzwirkungen spielten e​ine wichtige Rolle b​eim Beweis d​er Seifert-Faserraum-Vermutung: d​iese ließ s​ich darauf zurückführen, d​ass auf d​em Kreis wirkende Konvergenzgruppen virtuell Fuchssch s​ein müssen, d. h. e​ine Fuchssche Gruppe a​ls Untergruppe v​on endlichem Index enthalten. Letztere (von Casson-Jungreis u​nd Gabai bewiesene) Eigenschaft ermöglicht a​uch einen alternativen Beweis für d​as (ursprünglich v​on Kerckhoff bewiesene) Nielsensche Realisierungsproblem.

Literatur

• Frederick W. Gehring, Gaven J. Martin: Discrete convergence groups. In: Carlos A. Berenstein (Hrsg.): Complex analysis. Proceedings of the Special Year held at the University of Maryland, College Park, 1985–86 (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 1275). Band 1. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-18356-6, S. 158–167, doi:10.1007/BFb0078350.
• David Gabai: Convergence groups are Fuchsian groups. In: Annals of Mathematics. Bd. 136, Nr. 3 (Nov., 1992), S. 447–510, JSTOR 2946597.
• Andrew Casson, Douglas Jungreis: Convergence groups and Seifert fibered 3-manifolds. Invent. Math. 118 (1994), no. 3, 441–456, doi:10.1007/BF01231540.
• Pekka Tukia: Convergence groups and Gromov's metric hyperbolic spaces. In: New Zealand Journal of Mathematics. Bd. 23, Nr. 2, 1994, ISSN 1171-6096, S. 157–187, Link zu Digitalisat .
• Eric M. Freden: Negatively curved groups have the convergence property I. In: Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Series A. 1: Mathematica. Bd. 20, Nr. 2, 1995, ISSN 0066-1953, S. 333–348, Digitalisat (PDF; 137,81 kB).
• Brian H. Bowditch: Convergence groups and configuration spaces. In: John Cossey, Charles F. Miller, Walter D. Neumann, Michael Shapiro (Hrsg.): Geometric group theory down under. Proceedings of a special year in geometric group theory, Canberra, Australia, 1996. de Gruyter, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-11-016366-7, S. 23–54, online.
• Pekka Tukia: Conical limit points and uniform convergence groups. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Heft 501, 1998, S. 71–98, doi:10.1515/crll.1998.081.
• Brian H. Bowditch: A topological characterisation of hyperbolic groups. In: Journal of the American Mathematical Society. Bd. 11, Nr. 3, 1998, S. 643–667, doi:10.1090/S0894-0347-98-00264-1.

Einzelnachweise

1. Ilya Kapovich, Nadia Benakli: Boundaries of hyperbolic groups. In: Sean Cleary, Robert Gilman, Alexei G. Myasnikov, Vladimir Shpilrain (Hrsg.): Combinatorial and geometric group theory. AMS Special Session Combinatorial Group Theory, November 4–5, 2000, New York, New York. AMS Special Session Computational Group Theory, April 28–29, 2001, Hoboken, New Jersey (= Contemporary Mathematics. Bd. 296). American Mathematical Society, Providence RI 2002, ISBN 0-8218-2822-3, S. 39–93, Digitalisat (PDF; 488 kB).