Hilbert-C*-Modul

Hilbert-C*-Moduln werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtet. Sie spielen e​ine wichtige Rolle i​m Aufbau d​er KK-Theorie, d​ie Elemente d​er dort auftretenden Gruppen s​ind solche Moduln m​it einer gewissen Zusatzstruktur. Hilbert-C*-Moduln s​ind in Analogie z​u Hilberträumen definiert, w​obei das innere Produkt Werte i​n einer C*-Algebra annimmt. Sie wurden 1953 v​on Irving Kaplansky für d​en Fall kommutativer C*-Algebren eingeführt[1] u​nd 1973 v​on William Paschke für d​en allgemeinen Fall.[2]

Definition

Es sei ${\displaystyle B}$ eine C*-Algebra. Ein Prä-Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul ist ein Rechts-B-Modul ${\displaystyle E}$ zusammen mit einer Abbildung ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\times E\rightarrow B}$, so dass

1. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ist sesquilinear (konjugiert linear in der ersten Variablen)
2. ${\displaystyle \langle x,yb\rangle =\langle x,y\rangle b}$ für alle ${\displaystyle x,y\in E,b\in B}$
3. ${\displaystyle \langle x,y\rangle ^{*}=\langle y,x\rangle }$ für alle ${\displaystyle x,y\in E}$
4. ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ für alle ${\displaystyle x\in E}$, wobei ${\displaystyle \geq }$ die durch die positiven Elemente definierte Ordnung auf ${\displaystyle B}$ sei.
5. ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0}$ für alle ${\displaystyle x\in E}$.

Die offenbare Analogie z​ur Definition e​ines Hilbertraums lässt s​ich weiter ausbauen. Man z​eigt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

${\displaystyle \|\langle x,y\rangle \|\leq \|\langle x,x\rangle \|^{1/2}\|\langle y,y\rangle \|^{1/2}}$ für alle ${\displaystyle x,y\in E}$ (ohne Verwendung der fünften Bedingung)

und erhält s​o eine Halbnorm

${\displaystyle \|x\|:=\|\langle x,x\rangle \|^{1/2}}$

auf ${\displaystyle E}$, die wegen der 5. Bedingung sogar eine Norm ist. Ist der Prä-Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man ihn einen Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul.[3] Der wesentliche Unterschied zu Hilberträumen besteht darin, dass man keinen Projektionssatz beweisen kann, das heißt, es gibt Unter-Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln, die nicht stetig projizierbar sind.

Beispiele

• Eine C*-Algebra ${\displaystyle B}$ ist mit der Definition ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{*}y}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul. Dessen Unter-Hilbert-B-Moduln sind die abgeschlossenen Rechtsideale. ${\displaystyle B}$ ist als Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul genau dann abzählbar erzeugt, das heißt, es gibt eine abzählbare Teilmenge, so dass ${\displaystyle B}$ der kleinste diese Menge umfassende Untermodul ist, wenn ${\displaystyle B}$ σ-unital ist.
• Ein Hilbertraum ist ein Hilbert-${\displaystyle \mathbb {C} }$-Modul.
• Für eine C*-Algebra ${\displaystyle B}$ sei ${\displaystyle H_{B}}$ der Raum aller Folgen ${\displaystyle (b_{n})_{n}\in B^{\mathbb {N} }}$, für die ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}^{*}b_{n}\in B}$ konvergiert. Mit der Definition ${\displaystyle \textstyle \langle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}\rangle :=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}^{*}b_{n}}$ wird ${\displaystyle H_{B}}$ zu einem Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul. Offenbar ist ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\ell ^{2}}$ der separable Folgenraum der quadratsummieren Folgen.

Konstruktionen

Direkte Summen

Direkte Summen ${\displaystyle E_{1}\oplus \ldots \oplus E_{n}}$ von Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln sind mit der Definition ${\displaystyle \textstyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle :=\sum _{i=1}^{n}\langle x_{i},y_{i}\rangle }$ offenbar wieder Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln.

Algebren von Operatoren

Für zwei Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ sei ${\displaystyle L_{B}(E,F)}$ die Menge aller Operatoren ${\displaystyle T:E\rightarrow F}$, für die es einen Operator ${\displaystyle T^{*}:F\rightarrow E}$ gibt, so dass ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle _{F}=\langle x,T^{*}y\rangle _{E}}$ gilt für alle ${\displaystyle x\in E}$ und ${\displaystyle y\in F}$. Man zeigt, dass solche Operatoren ${\displaystyle B}$-linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen, linearen Operatoren ${\displaystyle E\rightarrow F}$ bilden. ${\displaystyle L_{B}(E):=L_{B}(E,E)}$ ist mit der Operatornorm und der Involution ${\displaystyle T\mapsto T^{*}}$ eine C*-Algebra.[4] Im Spezialfall ${\displaystyle E=B}$ ist ${\displaystyle L_{B}(B)=M(B)}$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra von ${\displaystyle B}$.

Gewisse Operatoren aus ${\displaystyle L_{B}(E,F)}$ lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilberträumen definieren. Sind ${\displaystyle x\in F}$ und ${\displaystyle y\in E}$, so sei ${\displaystyle \theta _{x,y}:E\rightarrow F,\,\theta _{x,y}(z):=x\langle y,z\rangle }$. Man bestätigt leicht die Formel ${\displaystyle \theta _{x,y}^{*}=\theta _{y,x}}$ und somit ${\displaystyle \theta _{x,y}\in L_{B}(E,F)}$. Den von diesen Operatoren erzeugten, abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit ${\displaystyle K_{B}(E,F)}$ und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von ${\displaystyle E}$ nach ${\displaystyle F}$, auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt. Leicht bestätigt man ${\displaystyle T\theta _{x,y}=\theta _{Tx,y}}$ für ein ${\displaystyle T\in L_{B}(F)}$, woraus ${\displaystyle L_{B}(F)K_{B}(E,F)\subset K_{B}(E,F)}$ folgt, und ganz ähnlich auch ${\displaystyle K_{B}(E,F)L_{B}(E)\subset K_{B}(E,F)}$. Damit ist ${\displaystyle K_{B}(E)\subset L_{B}(E)}$ ein zweiseitiges Ideal. Offenbar ist ${\displaystyle K_{\mathbb {C} }(H_{\mathbb {C} })}$ das Ideal der kompakten Operatoren auf ${\displaystyle \ell ^{2}}$.

Diese Konstruktionen hängen wie folgt zusammen: Für jede C*-Algebra ${\displaystyle B}$ und jeden Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul ${\displaystyle E}$ ist ${\displaystyle L_{B}(E)}$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra ${\displaystyle M(K_{B}(E))}$.[5] Insbesondere gibt einen *-Isomorphismus ${\displaystyle L_{B}(H_{B})\cong M(K_{\mathbb {C} }\otimes B)}$, der ${\displaystyle K_{B}(H_{B})}$ auf ${\displaystyle K_{\mathbb {C} }\otimes B}$ abbildet.[6]

Unitäre Äquivalenz

Zwei Hilbert-${\displaystyle B}$-Moduln ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ heißen unitär äquivalent, in Zeichen ${\displaystyle E\cong F}$, wenn eine bijektive, lineare Abbildung ${\displaystyle U\in L_{B}(E,F)}$ gibt mit ${\displaystyle \langle U(x),U(y)\rangle _{F}=\langle x,y\rangle _{E}}$ für alle ${\displaystyle x,y\in E}$.

Innere Tensorprodukte

Es seien ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul, ${\displaystyle F}$ ein Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul und ${\displaystyle \varphi :B\rightarrow L_{B}(F)}$ ein *-Homomorphismus. Durch die Formel ${\displaystyle by:=\varphi (b)(y)}$ wird ${\displaystyle F}$ zu einem Links-${\displaystyle B}$-Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{B}F}$ bilden, das durch die Definition ${\displaystyle (x\otimes _{B}y)a:=x\otimes _{B}ya}$ zu einem Rechts-${\displaystyle A}$-Modul wird. Durch die Formel

${\displaystyle \langle x_{1}\otimes _{B}y_{1},x_{2}\otimes _{B}y_{2}\rangle :=\langle y_{1},\varphi (\langle x_{1},x_{2}\rangle _{E})(y_{2})\rangle _{F}}$

erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf ${\displaystyle E\otimes _{B}F}$, die alle Regeln aus der Definition des Prä-Hilbert-${\displaystyle A}$-Moduls erfüllt bis auf eventuell Punkt 5, das heißt, es kann Vektoren der Länge 0 geben. Indem man den Raum ${\displaystyle N:=\{z\in E\otimes _{B}F;\langle z,z\rangle =0\}}$ der Vektoren der Länge herausdividiert, das heißt zum Faktorraum nach ${\displaystyle E\otimes _{B}F/N}$ übergeht, und anschließend vervollständigt, erhält man einen Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul, den man mit ${\displaystyle E\otimes _{\varphi }F}$ bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.[7]

Äußeres Tensorprodukt

Es seien wieder ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul und ${\displaystyle F}$ ein Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul. Dann ist das algebraische Tensorprodukt ${\displaystyle E\otimes _{\mathbb {C} }F}$ mittels der Definition

${\displaystyle (x\otimes y)\cdot (b\otimes a):=xb\otimes ya,\quad x\in E,y\in F,a\in A,b\in B}$

ein Rechts-${\displaystyle B\otimes A}$-Modul und man erhält mittels linearer Ausdehnung aus

${\displaystyle \langle x_{1}\otimes _{\mathbb {C} }y_{1},x_{2}\otimes _{C}y_{2}\rangle :=\langle x_{1},x_{2}\rangle \otimes \langle y_{1},y_{2}\rangle }$

eine Sesquilinearform. Ist ${\displaystyle B{\hat {\otimes }}A}$ das räumliche Tensorprodukt der C*-Algebren, so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Länge 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollständigungen einen Hilbert-${\displaystyle B{\hat {\otimes }}A}$-Modul, den man mit ${\displaystyle E{\hat {\otimes }}F}$ bezeichnet und das äußere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.[8]

Pushout

Ist ${\displaystyle E}$ ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul und ${\displaystyle \varphi :B\rightarrow A}$ ein surjektiver *-Homomorphismus, so definiere ${\displaystyle N_{\varphi }:=\{x\in E;\varphi (\langle x,x\rangle )=0\}}$. Ist ${\displaystyle q:E\rightarrow E_{\varphi }:=E/N_{\varphi }}$ die Quotientenabbildung, so wird ${\displaystyle E_{\varphi }}$ durch die Definitionen

${\displaystyle q(x)a:=q(xb)}$, wobei ${\displaystyle b\in B}$ mit ${\displaystyle \varphi (b)=a}$

${\displaystyle \langle q(x),q(y)\rangle :=\varphi (\langle x,y\rangle )}$,

deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, ein Hilbert-${\displaystyle A}$-Modul, den man den Pushout von ${\displaystyle E}$ bzgl. ${\displaystyle \varphi }$ nennt. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle E_{\varphi }\cong E\otimes _{\varphi }A}$, indem man ${\displaystyle A}$ als Unteralgebra von ${\displaystyle M(A)\cong L_{B}(A)}$ auffasst.[9]

Graduierte Hilbert-C*-Moduln

Besonders für die KK-Theorie werden Hilbert-C*-Algebren mit einer Zusatz-Struktur, einer sogenannten Graduierung, genauer einer ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-Graduierung verwendet. Es sei ${\displaystyle B}$ eine graduierte C*-Algebra mit Graduierungsautomorphismus ${\displaystyle \alpha :B\rightarrow B}$, das heißt, es ist

${\displaystyle \alpha \circ \alpha =\mathrm {id} _{B}}$

${\displaystyle B_{0}:=\{b\in B;\alpha (b)=b\}}$

${\displaystyle B_{1}:=\{b\in B;\alpha (b)=-b\}}$

Dann ist ${\displaystyle B=B_{0}\oplus B_{1}}$ die direkte Summenzerlegung zur ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-Graduierung. Ein graduierter Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul ist ein Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul ${\displaystyle E}$ zusammen mit einer linearen Bijektion ${\displaystyle S_{E}:E\rightarrow E}$, so dass

${\displaystyle S_{E}\circ S_{E}=\mathrm {id} _{E}}$

${\displaystyle S_{E}(xb)=S_{E}(x)\alpha (b)}$ für alle ${\displaystyle x\in E,b\in B}$

${\displaystyle \langle S_{E}(x),S_{E}(y)\rangle =\alpha (\langle x,y\rangle )}$ für alle ${\displaystyle x,y\in E}$[10]

Wieder erhält man eine direkte Summenzerlegung ${\displaystyle E=E_{0}\oplus E_{1}}$, wobei

${\displaystyle E_{0}:=\{x\in E;S_{E}(x)=x\}}$

${\displaystyle E_{1}:=\{x\in E;S_{E}(x)=-x\}}$

und e​s folgt

${\displaystyle E_{i}B_{j}\subset E_{i+j}}$ und ${\displaystyle \langle E_{i},E_{j}\rangle \subset B_{i+j}}$ für alle ${\displaystyle i,j\in \mathbb {Z} /2=\{0,1\}}$.

Durch den Automorphismus ${\displaystyle T\mapsto S_{E}TS_{E}^{-1}}$ erhalten dann auch ${\displaystyle L_{B}(E)}$ und ${\displaystyle K_{B}(E)}$ eine Graduierung.

Graduierte Hilbert-C*-Moduln heißen unitär äquivalent, w​enn sie a​ls Hilbert-C*-Moduln unitär äquivalent s​ind mit e​inem unitären Operator, d​er die Graduierung erhält.

Dies verallgemeinert die oben eingeführten Begriffe ohne Graduierung, denn jede C*-Algebra kann mittels ${\displaystyle \alpha =\mathrm {id} _{A}}$ trivial graduiert werden und ebenso jeder Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul mittels ${\displaystyle S_{E}=\mathrm {id} _{E}}$.

Um auch ${\displaystyle H_{B}}$ zu graduieren, hat man zwei Möglichkeiten, nämlich ${\displaystyle S(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ):=(\alpha (b_{1}),\alpha (b_{2}),\alpha (b_{3}),\ldots )}$ und ${\displaystyle -S(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots )=(-\alpha (b_{1}),-\alpha (b_{2}),-\alpha (b_{3}),\ldots )}$. Wir definieren daher

${\displaystyle {\hat {H}}_{B}:=H_{B}\oplus H_{B}}$ mit der Graduierung ${\displaystyle S\oplus -S}$.

Die o​ben angeführten Konstruktionen lassen s​ich auch für graduierte Hilbert-C*-Moduln definieren, w​obei das graduierte Tensorprodukt z​u nehmen i​st und a​lle auftretenden Morphismen m​it den Graduierungen verträglich s​ein müssen. Die hiermit zusammenhängenden Einzelheiten s​ind sehr technisch u​nd werden h​ier übergangen.

Stabilisierungssatz von Kasparow

Für die KK-Theorie erweist sich der sogenannte Stabilisierungssatz von Kasparow als wichtig. Dieser Satz gilt für graduierte und nicht-graduierte Hilbert-C*-Moduln, er sagt aus, dass ${\displaystyle H_{B}}$ bereits alle abzählbar erzeugten Hilbert-C*-Moduln als direkte Summanden enthält, und analog für graduierte Moduln. Es gilt sogar etwas mehr:[11]

• Ist ${\displaystyle E}$ ein abzählbar erzeugter Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul über einer C*-Algebra ${\displaystyle B}$, so ist ${\displaystyle E\oplus H_{B}\cong H_{B}}$.
• Ist ${\displaystyle E}$ ein abzählbar erzeugter, graduierter Hilbert-${\displaystyle B}$-Modul über einer graduierten C*-Algebra ${\displaystyle B}$, so ist ${\displaystyle E\oplus {\hat {H}}_{B}\cong {\hat {H}}_{B}}$.

Einzelnachweise

1. I. Kaplansky: Modules over operator algebras, Amer. J. of Math. (1953), Band 75, Seiten 838–858
2. W. L. Paschke: Inner product moduls over B*-algebras, Transactions Amer. Math. Soc. (1973), Band 182, Seiten 443–468
3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 13.1.1
4. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.1.7
5. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 13.4.1
6. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.7
7. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.3
8. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 1.2.4
9. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Lemma 1.2.5
10. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 1.2.10
11. K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Theorem 1.1.24 und Theorem 1.2.12