σ-unitale C*-Algebra

Die ${\displaystyle \sigma }$ -unitalen C*-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht, es handelt sich um C*-Algebren mit einer gewissen Abzählbarkeitsbedingung.

Definition

Eine C*-Algebra heißt ${\displaystyle \sigma }$ -unital, falls sie eine abzählbare Approximation der Eins besitzt.

Beispiele

• Separable C*-Algebren sind ${\displaystyle \sigma }$ -unital.
• C*-Algebren mit Einselement sind ${\displaystyle \sigma }$ -unital, daher ist dieser Begriff nur bei C*-Algebren ohne Einselement sinnvoll.
• Die kommutative C*-Algebra ${\displaystyle C_{0}(X)}$ der C₀-Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ ist genau dann ${\displaystyle \sigma }$ -unital, wenn ${\displaystyle X}$ σ-kompakt ist.[1] Ist also ${\displaystyle X}$ überabzählbar und diskret, so ist ${\displaystyle C_{0}(X)}$ nicht ${\displaystyle \sigma }$ -unital.

Eigenschaften

Folgende Aussagen über eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ sind äquivalent:[2][3]

• ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle \sigma }$ -unital.
• ${\displaystyle A}$ hat ein strikt positives Element, das heißt, es gibt ein positives Element ${\displaystyle a\in A}$ , so dass ${\displaystyle f(a)>0}$ für alle Zustände ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle A}$ .
• Es gibt ein positives Element ${\displaystyle a\in A}$ , so dass ${\displaystyle aA\subset A}$ eine dichte Teilmenge ist.
• Es gibt ein positives Element ${\displaystyle a\in A}$ , so dass das Einselement in der einhüllenden Von-Neumann-Algebra die kleinste Projektion ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle pa=a}$ ist.

Einzelnachweise

1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.10.6
2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 12.3.1
3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.10.5