σ-unitale C*-Algebra

Die -unitalen C*-Algebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht, es handelt sich um C*-Algebren mit einer gewissen Abzählbarkeitsbedingung.

Definition

Eine C*-Algebra heißt -unital, falls sie eine abzählbare Approximation der Eins besitzt.

Beispiele

  • Separable C*-Algebren sind -unital.
  • C*-Algebren mit Einselement sind -unital, daher ist dieser Begriff nur bei C*-Algebren ohne Einselement sinnvoll.
  • Die kommutative C*-Algebra der C0-Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ist genau dann -unital, wenn σ-kompakt ist.[1] Ist also überabzählbar und diskret, so ist nicht -unital.

Eigenschaften

Folgende Aussagen über eine C*-Algebra sind äquivalent:[2][3]

  • ist -unital.
  • hat ein strikt positives Element, das heißt, es gibt ein positives Element , so dass für alle Zustände auf .
  • Es gibt ein positives Element , so dass eine dichte Teilmenge ist.
  • Es gibt ein positives Element , so dass das Einselement in der einhüllenden Von-Neumann-Algebra die kleinste Projektion mit ist.

Einzelnachweise

  1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.10.6
  2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 12.3.1
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.10.5
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