Multiplikatorenalgebra

Die Multiplikatorenalgebra, i​n Anlehnung a​n die englische Bezeichnung a​uch Multiplier-Algebra genannt, i​st ein Konzept a​us der mathematischen Theorie d​er C*-Algebren. Es handelt s​ich um d​ie maximale Einbettung e​iner C*-Algebra a​ls wesentliches zweiseitiges Ideal i​n eine C*-Algebra m​it Einselement.

Definitionen

Zentralisatoren

Es sei ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra. Eine lineare Abbildung ${\displaystyle \rho :A\rightarrow A}$ heißt ein Links- bzw. Rechtszentralisator, falls

${\displaystyle \rho (ab)=\rho (a)b}$ bzw. ${\displaystyle \rho (ab)=a\rho (b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$.

Ein Doppelzentralisator ist ein Paar ${\displaystyle (\rho _{1},\rho _{2})}$, wobei

• ${\displaystyle \rho _{1}}$ ist ein Rechtszentralisator,
• ${\displaystyle \rho _{2}}$ ist ein Linkszentralisator und
• ${\displaystyle \rho _{1}(a)b=a\rho _{2}(b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$.[1]

Multiplikatoren

Wir führen n​un den Begriff d​es Multiplikators ein, dessen Definition e​inen Hilbertraum erfordert. Wir werden d​en Multiplikatorbegriff d​ann mit d​en Zentralisatoren i​n Zusammenhang bringen, u​m so d​ie Unabhängigkeit v​on der Wahl d​es Hilbertraums sicherzustellen.

Eine C*-Algebra ${\displaystyle A}$ kann man nach dem Satz von Gelfand-Neumark ohne Einschränkung als eine C*-Unteralgebra der Operatorenalgebra ${\displaystyle B(H)}$ der beschränkten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ auffassen, so dass ${\displaystyle a\xi =0}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ nur für ${\displaystyle \xi =0}$ gilt. Man sagt dann, ${\displaystyle A}$ operiere nicht-degeneriert auf ${\displaystyle H}$. Ein Operator ${\displaystyle x\in B(H)}$ heißt Links- bzw. Rechtsmultiplikator, falls ${\displaystyle xA\subset A}$ bzw. ${\displaystyle Ax\subset A}$. Ein beidseitiger Multiplikator, oder schlicht Multiplikator, ist ein Operator aus ${\displaystyle B(H)}$, der sowohl Links- als auch Rechtsmultiplikator ist.

Ist ${\displaystyle x}$ ein Links- bzw. Rechtsmultiplikator, so ist durch ${\displaystyle \rho _{x}(a):=xa}$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{x}(a):=ax}$ offenbar ein Links- bzw. Rechtszentralisator gegeben. Ist ${\displaystyle x}$ Multiplikator, so ist ${\displaystyle ({\tilde {\rho }}_{x},\rho _{x})}$ ein Zentralisator. Man kann zeigen, dass in dieser Situation die Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto \rho _{x},x\mapsto {\tilde {\rho }}_{x},x\mapsto ({\tilde {\rho }}_{x},\rho _{x})}$ bijektive Funktionen von der Menge aller Links-, Rechts- bzw. beidseitiger Multiplikatoren auf die Menge aller Links-, Rechts bzw. Doppelzentralisatoren sind.[2] Insbesondere hängen die Multiplikatorenbegriffe nicht von der Wahl der Hilbertraums ab, auf dem ${\displaystyle A}$ nicht-degeneriert operiert.

Die Menge ${\displaystyle M(A)}$ aller Multiplikatoren ist offenbar eine C*-Algebra, sie heißt die Multiplikatorenalgebra von ${\displaystyle A}$. Konstruktionsgemäß ist ${\displaystyle A}$ ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle M(A)}$. ${\displaystyle A}$ ist sogar ein wesentliches Ideal in ${\displaystyle M(A)}$, das heißt, ${\displaystyle A}$ hat mit jedem von 0 verschiedenen, zweiseitigen Ideal einen von 0 verschiedenen Durchschnitt.

Strikte Topologie

Neben der Normtopologie betrachtet man auf der Multiplikatorenalgebra ${\displaystyle M(A)}$ noch die sogenannte strikte Topologie. Diese ist die lokalkonvexe Topologie, die von allen Halbnormen ${\displaystyle p_{a}(x):=\|ax\|+\|xa\|,a\in A}$ erzeugt wird.

Beispiele

• Hat ${\displaystyle A}$ ein Einselement 1, so ist ${\displaystyle M(A)=A}$, denn für jeden Linksmultiplikator ${\displaystyle x}$ gilt dann ${\displaystyle x=x1\in A}$.
• Ist ${\displaystyle K}$ die C*-Algebra der kompakten Operatoren über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$, so ist ${\displaystyle M(K)=B(H)}$.
• Sei ${\displaystyle A=C_{0}(X)}$ die kommutative C*-Algebra der C₀-Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$. Dann ist ${\displaystyle M(A)}$ isomorph zur C*-Algebra der beschränkten, stetigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$ und diese ist wieder isomorph zur C*-Algebra ${\displaystyle C(\beta X)}$ der stetigen Funktionen auf der Stone-Čech-Kompaktifizierung ${\displaystyle \beta X}$. Bekanntlich ist die Stone-Čech-Kompaktifizierung gemäß ihrer universellen Eigenschaft eine "größte" Kompaktifizierung. Für den Fall allgemeiner C*-Algebren gilt folgende Verallgemeinerung dieses topologischen Sachverhalts:[3]

• Ist ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra, die zweiseitiges, wesentliches Ideal in einer C*-Algebra ${\displaystyle B}$ ist, so gibt es einen injektiven *-Homomorphismus ${\displaystyle B\rightarrow M(A)}$, dessen Einschränkung auf ${\displaystyle A}$ die Identität ist.

Den Übergang zur Multiplikatorenalgebra kann man daher als „nicht-kommutative Stone-Čech-Kompaktifizierung“ bezeichnen.

• Ist ${\displaystyle A=C_{0}(X)\otimes B}$ mit einem lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ und einer C*-Algebra ${\displaystyle B}$, so ist ${\displaystyle M(A)}$ isomorph zur C*-Algebra aller stetigen Funktionen ${\displaystyle \beta X\rightarrow M(B)}$, wobei ${\displaystyle M(B)}$ die strikte Topologie trägt.[4]

Weitere Begriffe

Ist ${\displaystyle A}$ eine C*-Algebra, so heißt ${\displaystyle Q(A):=M(A)/A}$ die äußere Algebra. Die äußere Algebra der C*-Algebra ${\displaystyle K}$ der kompakten Operatoren ist die Calkin-Algebra.

Da die Multiplikatorenalgebra einer C*-Algebra mit Einselement nichts Neues bringt, tensoriert man erst mit ${\displaystyle K}$, um zu einer C*-Algebra ohne Einselement zu gelangen, und bildet dann die Multiplikatorenalgebra bzw. äußere Algebra:

${\displaystyle M^{s}(A):=M(A\otimes K)}$, ${\displaystyle Q^{s}(A):=Q(A\otimes K)}$.

Diese nennt man die stabile Multiplikatorenalgebra bzw. stabile äußere Algebra. Die Stabilität spielt in der K-Theorie der C*-Algebren eine wichtige Rolle. Es gilt der Satz:[5]:

• Für jede C*-Algebra ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle K_{0}(M^{s}(A))=0}$ und ${\displaystyle K_{1}(M^{s}(A))=0}$, wobei mit 0 die triviale einelementige Gruppe bezeichnet sei. Kurz: Die K-Gruppen einer stabilen Multiplikatorenalgebra verschwinden.

Als Anwendung zeigen wir

${\displaystyle K_{i}(A)\cong K_{1-i}(Q^{s}(A)),\,i=0,1}$[6]

Dazu betrachten w​ir die a​us der kurzen exakten Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow A\otimes K\rightarrow M^{s}(A)\rightarrow Q^{s}(A)\rightarrow 0}$

mittels Bott-Periodizität gewonnene zyklische exakte Sequenz

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}K_{0}(A\otimes K)&\rightarrow &K_{0}(M^{s}(A))&\rightarrow &K_{0}(Q^{s}(A))\\\uparrow &&&&\downarrow \\K_{1}(Q^{s}(A))&\leftarrow &K_{1}(M^{s}(A))&\leftarrow &K_{1}(A\otimes K)\\\end{array}}}$

Da nun die mittleren Gruppen jeder Zeile nach obigem Satz verschwinden, müssen die senkrechten Pfeile wegen der Exaktheit Isomorphismen sein. Da die K-Theorie invariant gegen Stabilisierung ist, das heißt, es gilt ${\displaystyle K_{i}(A)\cong K_{i}(A\otimes K),\,i=0,1}$, folgt obige Behauptung.

Einzelnachweise

1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Abschnitt 3.12.1
2. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.12.3
3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, Satz 3.12.8
4. C. Akemann, G. Pedersen, J Tomiyama: Multipliers of C*-algebras, Jornal of Functional Analysis, Band 13 (1973), Seiten 277–301
5. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 12.2.1
6. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Korollar 12.2.3