Hamel-Oseenscher-Wirbel

Der Hamel-Oseen’sche o​der Lamb-Oseen’sche Wirbel (von Carl Wilhelm Oseen, Georg Hamel, Horace Lamb, i​m Folgenden einfach Oseen’scher Wirbel) i​st ein mathematisches Modell e​iner Wirbelströmung e​ines linear viskosen, inkompressiblen Fluids. Das Geschwindigkeitsfeld v​on Strömungen solcher Fluide w​ird in d​er Strömungsmechanik m​it den Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben, d​ie vom Oseen’schen Wirbel e​xakt erfüllt werden. Das Fluid strömt r​ein kreisförmig jedoch zeitabhängig, instationär u​m das Wirbelzentrum. Die Viskosität z​ehrt die kinetische Energie d​es Wirbels v​or allem i​n der s​ich ausbreitenden Zentralregion d​es Wirbels m​it der Zeit a​uf und d​ie Strömungsgeschwindigkeit n​immt monoton m​it der Zeit ab.

Zu Beginn d​er Bewegung o​der im Grenzfall verschwindender Viskosität i​st der Wirbel e​in Potentialwirbel. Ansonsten i​st das Geschwindigkeitsprofil d​es Oseen’schen Wirbels beschränkt u​nd entspricht i​m Wirbelzentrum, s​owie im Außenbereich e​inem Rankine Wirbel.

Umfangsgeschwindigkeit

Umfangsgeschwindigkeiten beim Oseen’schen Wirbel zu verschiedenen Zeiten

Umfangsgeschwindigkeit beim Oseen’schen Wirbel im Vergleich mit der starren Rotation und dem Potentialwirbel

Im Oseen’schen Wirbel bewegen sich die Fluidelemente in der Wirbelebene kreisförmig um das Wirbelzentrum. Die beiden Abbildungen rechts geben einen Eindruck der Geschwindigkeitsverteilung als Funktion des Abstandes vom Zentrum. Das obere Bild zeigt die Geschwindigkeitsverteilung zu verschiedenen Zeiten als Funktion des Radius (${\displaystyle \Gamma _{0}=2\pi \,,\;\nu =1/4\,,}$ s. u.). Die schwarz gepunktete Kurve („vmax“) verbindet die Punkte mit maximaler Umfangsgeschwindigkeit, die den Kernradius markieren. Die Umfangsgeschwindigkeit nimmt zeitlich besonders innerhalb des doppelten Kernradius ab. Vor allem innerhalb dieser Kernregion, die sich mit der Zeit ausdehnt, wird kinetische Energie dissipiert. Außerhalb des Kernradius geht der Oseen’sche Wirbel in den stationären Potentialwirbel reibungsfreier Fluide über (schwarze Kurve im Bild), wo keine Dissipation stattfindet. Bei doppeltem Kernradius ist die Geschwindigkeitsabweichung vom Potentialwirbel bereits auf 2 % geschrumpft.

Für d​ie mathematische Beschreibung d​es Oseen’schen Wirbels w​ird ein Zylinderkoordinatensystem benutzt. Die Strömung i​st dann n​ur von d​er radialen Koordinate r u​nd der Zeit t abhängig u​nd besitzt d​ie Umfangsgeschwindigkeit:

${\displaystyle v_{\varphi }:={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi {\sqrt {\nu t}}}}{\frac {1-e^{-q^{2}}}{q}}\quad {\text{mit}}\quad q:={\frac {r}{r_{0}}}\,,\;r_{0}:=2{\sqrt {\nu t}}\,.}$

Der Materialparameter ν ist die kinematische Viskosität (Dimension L²T⁻¹, Luft 14 mm²/s, Wasser 1 mm²/s), ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ein mit derselben Dimension versehener Parameter, der die Strömungsgeschwindigkeit kontrolliert, der Nenner ${\displaystyle r_{0}}$ ist der Kernradius des Rankine-Wirbels, der sich zu einer gegebenen Zeit t an den Oseen’schen Wirbel anschmiegt, und e^x bezeichnet die e-Funktion. Die Geschwindigkeitsverteilungen der starren Rotation, des Potentialwirbels – was beides zusammen den Rankine-Wirbel ergibt – und des Oseen’schen Wirbels sind in der unteren Abbildung rechts für den Fall ${\displaystyle r_{0}={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi }}=1}$ dargestellt.

Der Kernradius e​ines Wirbels i​st derjenige Radius, b​ei dem d​as Geschwindigkeitsmaximum auftritt. Im Geschwindigkeitsmaximum m​uss zu e​iner bestimmten Zeit t d​ie Ableitung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}{\frac {1-e^{-q^{2}}}{q}}={\frac {2q^{2}e^{-q^{2}}+e^{-q^{2}}-1}{q^{2}}}}$

verschwinden, was bei ${\displaystyle q=1{,}121}$ näherungsweise der Fall ist. Die maximale Geschwindigkeit

${\displaystyle v_{\varphi \max }=0{,}051{\frac {\Gamma _{0}}{\sqrt {\nu t}}}=0{,}120{\frac {\Gamma _{0}}{r_{0}}}}$

tritt im Radius ${\displaystyle r_{k}=1{,}121r_{0}=2{,}242{\sqrt {\nu t}}}$ auf. Dies ist der Kernradius des Oseen’schen Wirbels. Die Grenzwerte

${\displaystyle \lim _{q\to 0}{\frac {1-e^{-q^{2}}}{q}}=0\quad {\text{und}}\quad \lim _{q\to 0}{\frac {2q^{2}e^{-q^{2}}+e^{-q^{2}}-1}{q^{2}}}=1}$

existieren und daher nimmt zu einer bestimmten Zeit im Zentrum des Wirbels ${\displaystyle v_{\varphi }}$ linear mit dem Radius zu:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial r}}\right|_{r=0}=\left.{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial q}}\right|_{q=0}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} r}}={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi {\sqrt {\nu t}}}}{\frac {1}{r_{0}}}={\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}\quad \Rightarrow \quad v_{\varphi s}:={\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}r={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r_{0}^{2}}}r}$

Die Geschwindigkeitsverteilung ${\displaystyle v_{\varphi s}}$ entspricht einer starren Rotation. In einem größeren Abstand vom Zentrum (${\displaystyle r\gg r_{0}}$) ist die Umfangsgeschwindigkeit etwa die des Potentialwirbels:

${\displaystyle v_{\varphi p}:={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r}}\,.}$

An der Stelle ${\displaystyle r=r_{0}}$ sind die Umfangsgeschwindigkeiten der starren Rotation und des Potentialwirbels gleich und diese Stelle ist – wie oben gesagt – der Kernradius des Rankine-Wirbels. Unter Berücksichtigung der Einheiten ergibt sich bei einem Kernradius ${\displaystyle r_{k}=0{,}16\mathrm {m} }$ und einer Zirkulation ${\displaystyle \Gamma _{0}=1{,}4{\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} }}}$ eine maximale Umfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\varphi \max }=1{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}}$, so dass die Fluidelemente das Zentrum einmal pro Sekunde umrunden. Im Abstand von 50 Zentimetern wäre die Umfangsgeschwindigkeit bereits auf ${\displaystyle v_{\varphi }\approx v_{\varphi p}(0{,}5\mathrm {m} )=0{,}46{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}}$ abgesunken, so dass Fluidelemente in diesem Abstand das Zentrum nur alle sieben Sekunden einmal umrunden.

Wirbelstärke

Wirbelstärke über den Radius zu verschiedenen Zeiten; die Wirbelstärke des zur Zeit t = 1 gehörenden Rankine-Wirbels ist schwarz gezeichnet.

Die Wirbelstärke i​n einer ebenen Strömung i​st das Doppelte d​er Winkelgeschwindigkeit d​er Fluidelemente u​m sich selbst. Bei e​iner ebenen Strömung h​at die Wirbelstärke n​ur eine Komponente senkrecht z​ur Ebene u​nd somit k​ann sie a​ls Skalarfeld behandelt werden. Beim Oseen’schen Wirbel lautet d​ie Wirbelstärke:

${\displaystyle \omega ={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}={\frac {\Gamma _{0}}{\pi r_{0}^{2}}}e^{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}\,.}$

Dies ergibt sich aus der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}=v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi }}$ und deren Rotation in Zylinderkoordinaten:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} (v_{\varphi }(r,t){\hat {e}}_{\varphi })=&{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,v_{\varphi }\right){\hat {e}}_{z}=\left({\frac {v_{\varphi }}{r}}+{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial r}}\right){\hat {e}}_{z}=:\omega {\hat {e}}_{z}\\\rightarrow \omega =&{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r^{2}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)-{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r^{2}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)+{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r}}{\frac {2r}{4\nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\,.\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle \nu \,,\;t\rightarrow 0}$ geht die Wirbelstärke in das Dirac-Delta über, was zu einem Potentialwirbel passt[L 1]. Die Ableitung der Wirbelstärke nach dem Radius berechnet sich zu:

${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial r}}=-{\frac {\Gamma _{0}r}{8\pi \nu ^{2}t^{2}}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\,.}$

Bei ${\displaystyle r=0}$ verschwindet diese Ableitung und die Wirbelstärke ist gleich der doppelten Drehgeschwindigkeit ${\displaystyle \partial v_{\varphi }/\partial r|_{r=0}}$ im Zentrum. Im Zentrum findet also eine starre Rotation statt. Für ${\displaystyle r\to \infty }$ geht die Wirbelstärke gegen null, weswegen sich auch hier der Potential- und Rankine-Wirbel an den Oseen’schen Wirbel anschmiegen.

Druck

Druckverteilung im Oseen’schen Wirbel bei ${\displaystyle p_{\infty }=0}$

Der Druckgradient i​n einem kreisförmig strömenden Wirbel gleicht gerade d​ie Zentrifugalkraft aus, s​o dass d​ie Fluidelemente i​m Kreis strömen, w​as sich i​n Zylinderkoordinaten a​us den Navier-Stokes-Gleichungen ergibt (siehe unten) u​nd im Oseen’schen Wirbel a​uf die Bedingung

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}=\rho {\frac {v_{\varphi }^{2}}{r}}={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}{\frac {1}{r^{3}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)^{2}}$

hinaus läuft. Unter Verwendung d​er Integralexponentialfunktion Ei m​it den Eigenschaften

${\displaystyle \mathrm {Ei} (x):=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{s}}{s}}\,\mathrm {d} s\quad \Rightarrow \quad \mathrm {d} \mathrm {Ei} (x)={\frac {e^{x}}{x}}\,\mathrm {d} x\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ei} (x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {e^{x}}{x}}}$

kann d​ie obige Ableitung geschlossen integriert werden m​it dem Ergebnis:

${\displaystyle p=p_{z}\left[-{\frac {4\nu t}{r^{2}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)^{2}+2\mathrm {Ei} \left(-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}\right)-2\mathrm {Ei} \left(-2{\frac {r^{2}}{4\nu t}}\right)\right]+p_{\infty }\quad {\text{mit}}\quad p_{z}:={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{32\pi ^{2}\nu t}}}$

Die Integrationskonstante ${\displaystyle p_{\infty }}$ ist der Druck im (unendlich) fernen Außenbereich. Im Zentrum herrscht der Druck

${\displaystyle p(r=0)=p_{\infty }-2\ln(2)p_{z}\,.}$

Beweis:

Mit den Abkürzungen ${\displaystyle r_{0}^{2}:=4\nu t}$ und ${\displaystyle q:={\frac {r^{2}}{4\nu t}}={\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\rightarrow q'={\frac {2r}{r_{0}^{2}}}\rightarrow {\frac {q'}{2q^{2}}}={\frac {r_{0}^{2}}{r^{3}}}}$ schreibt sich der Druck als ${\displaystyle {\frac {p}{2p_{z}}}=-{\frac {1}{2q}}\left(1-e^{-q}\right)^{2}+\mathrm {Ei} \left(-q\right)-\mathrm {Ei} \left(-2q\right)+{\frac {p_{\infty }}{2p_{z}}}\,.}$ Es berechnet sich ${\displaystyle {\begin{aligned}\\{\frac {1}{2p_{z}}}{\frac {\partial p}{\partial r}}=&{\frac {q'}{2q^{2}}}\left(1-e^{-q}\right)^{2}\underbrace {-{\frac {1}{q}}\left(1-e^{-q}\right)q'e^{-q}+{\frac {e^{-q}}{-q}}\cdot (-q')-{\frac {e^{-2q}}{-2q}}\cdot (-2q')} _{=0}={\frac {r_{0}^{2}}{r^{3}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}\right)^{2}\\\rightarrow {\frac {\partial p}{\partial r}}=&2p_{z}{\frac {r_{0}^{2}}{r^{3}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}\right)^{2}={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{4\pi ^{2}r^{3}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)^{2}\,.\end{aligned}}}$ Für kleine Argumente ${\displaystyle x\ll 1}$ ergibt sich der Wert der Integralexponentialfunktion mit ihrer Reihenentwicklung zu ${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}=\gamma +\ln |x|+{\mathcal {O}}(x)\,,}$ worin ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$ das Landau Symbol für Werte ist, die bei ${\displaystyle x\ll 1}$ nicht wesentlich schneller als x wachsen und gegenüber einer Konstanten, z. B. der Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}5772}$, vernachlässigt werden können. So berechnet sich: ${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{q\to 0}[\mathrm {Ei} (-q)-\mathrm {Ei} (-2q)]=&\lim _{q\to 0}[\gamma +\ln |q|-\gamma -\ln |2q|+{\mathcal {O}}(q)]\\=&\lim _{q\to 0}[\ln |q|-\ln 2-\ln |q|]=-\ln 2\,.\end{aligned}}}$ Mit dem Grenzwert ${\displaystyle \lim _{q\to 0}(1-e^{-q})^{2}/q=0}$ folgt der Druck ${\displaystyle p(r=0)=p_{\infty }-2\ln(2)p_{z}\,.}$ im Zentrum.

Das Bild zeigt die Druckverteilung bei einem verschwindenden Außendruck. Der Faktor ${\displaystyle -{\frac {4\nu t}{r^{2}}}p_{z}}$ ist der Druck im Potentialwirbel, der sich an den Oseen’schen Wirbel anschmiegt (blaue Kurve):

${\displaystyle v_{\varphi p}={\frac {\Gamma }{2\pi r}}\quad \rightarrow \quad {\frac {\partial p_{p}}{\partial r}}=\rho {\frac {v_{\varphi p}^{2}}{r}}={\frac {\rho \Gamma ^{2}}{4\pi ^{2}r^{3}}}\quad \rightarrow \quad p_{p}-p_{\infty }=-{\frac {\rho \Gamma ^{2}}{8\pi ^{2}r^{2}}}=-{\frac {4\nu t}{r^{2}}}p_{z}=-p_{z}{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}}\,.}$

Wieder deutet der Druck im Zentrum auf eine starre Rotation hin, denn bei dieser ist die Umfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\varphi s}}$ proportional zum Radius

${\displaystyle v_{\varphi s}={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r_{0}^{2}}}r\quad \rightarrow \quad {\frac {\partial p_{s}}{\partial r}}=\rho {\frac {v_{\varphi s}^{2}}{r}}={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{4\pi ^{2}r_{0}^{4}}}r\quad \rightarrow \quad p_{s}-p_{0}={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{8\pi ^{2}r_{0}^{2}}}{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}=p_{z}{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\,,}$

weswegen d​er Druckverlauf d​ann über d​em Radius parabelförmig i​st (rote Kurve i​m Bild).

Kinetische Energie

Kinetische Energie des Fluids als Funktion der Vielfachheit des Kernradius

Die kinetische Energie d​es Fluids innerhalb e​ines vielfachen d​es Kernradius d​es Rankine-Wirbels i​st weder v​om Kernradius n​och von d​er Zeit abhängig solange d​ie Vielfachheit beibehalten wird:

${\displaystyle E_{\text{k}}(nr_{0}):=\int _{0}^{nr_{0}}{\frac {\rho }{2}}v_{\varphi }^{2}\,2\pi r\mathrm {d} r={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{8\pi }}\left[\ln \left({\frac {n^{2}}{2}}\right)-2\mathrm {Ei} (-n^{2})+\mathrm {Ei} (-2n^{2})+\gamma \right]\,.}$

Der Wert in den eckigen Klammern ist mit der Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}5772}$ nur eine Funktion des Faktors n, siehe die Abbildung rechts. Die kinetische Energie des Fluids innerhalb des sich ausweitenden Radius ${\displaystyle nr_{0}=2n{\sqrt {\nu t}}}$ ist bei festgehaltenem Verhältnis n mithin über die Zeit konstant. Umgekehrt heißt das: Die kinetische Energie der in einem Zeitintervall von einem Kreis mit n-fachem Kernradius neu eingenommenen Fluidelemente wird in diesem Zeitintervall innerhalb des Kreises dissipiert.

Beweis:

Mit der Umfangsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\varphi }={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)}$ ergibt sich die kinetische Energie des Fluids innerhalb eines Vielfachen des Rankine-Kernradius zu ${\displaystyle E_{\text{k}}(nr_{0})=\int _{0}^{nr_{0}}{\frac {\rho }{2}}v_{\varphi }^{2}\,2\pi r\mathrm {d} r={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{4\pi }}\int _{0}^{nr_{0}}{\frac {1}{r}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}\right)^{2}\,\mathrm {d} r={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{4\pi }}\left[\ln \left({\frac {r}{r_{0}}}\right)-\mathrm {Ei} \left(-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {Ei} \left(-2{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right)\right]_{0}^{nr_{0}}}$ denn die Funktion ${\displaystyle f(r):=\ln \left({\frac {r}{r_{0}}}\right)-\mathrm {Ei} \left(-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {Ei} \left(-2{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right)}$ ist tatsächlich die gesuchte Stammfunktion: ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}f(r)={\frac {r_{0}}{r}}{\frac {1}{r_{0}}}-{\frac {e^{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}}{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}}\cdot \left(-2{\frac {r}{r_{0}^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {e^{-2{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}}{-2{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}}\cdot \left(-4{\frac {r}{r_{0}^{2}}}\right)={\frac {1}{r}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}\right)^{2}\,.}$ An der unteren Grenze ergibt sich für die benötigten, kleinen, quadratischen Argumente der Wert der Integralexponentialfunktion mit ihrer Reihenentwicklung zu ${\displaystyle \mathrm {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}=\gamma +\ln |x|+{\mathcal {O}}(x)\,,}$ worin ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$ das Landau Symbol für Werte ist, die bei ${\displaystyle x\ll 1}$ nicht wesentlich schneller als x wachsen und gegenüber einer Konstanten, z. B. der Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}5772}$, vernachlässigt werden können. Somit ergibt sich: ${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{r\to 0}f(r)=&\lim _{r\to 0}\left[\ln \left({\frac {r}{r_{0}}}\right)-\mathrm {Ei} \left(-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {Ei} \left(-2{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right)\right]\\=&\lim _{r\to 0}\left[\ln \left({\frac {r}{r_{0}}}\right)-\gamma -\ln \left|{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right|+{\frac {1}{2}}\gamma +{\frac {1}{2}}\ln \left|2{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\right|+{\mathcal {O}}(r^{2})\right]\\=&{\frac {1}{2}}(\ln 2-\gamma )+\lim _{r\to 0}{\bigg [}\underbrace {\ln \left({\frac {r}{r_{0}}}\right)-2\ln \left|{\frac {r}{r_{0}}}\right|+\ln \left|{\frac {r}{r_{0}}}\right|} _{=0}{\bigg ]}\\\Rightarrow f(0)=&{\frac {1}{2}}(\ln 2-\gamma )\,.\end{aligned}}}$ Der Wert der Stammfunktion bei ${\displaystyle r=nr_{0}}$ ist wegen ${\displaystyle f(nr_{0})=\ln(n)-\mathrm {Ei} (-n^{2})+{\frac {1}{2}}\mathrm {Ei} (-2n^{2})}$ nur eine Funktion des Faktors n. Mit diesen Ergebnissen berechnet sich die kinetische Energie – wie angekündigt – zu ${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{4\pi }}[f(r)]_{0}^{nr_{0}}={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{4\pi }}[f(nr_{0})-f(0)]={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{8\pi }}\left[\ln \left({\frac {n^{2}}{2}}\right)-2\mathrm {Ei} (-n^{2})+\mathrm {Ei} (-2n^{2})+\gamma \right]\,.}$

Zirkulation

Zirkulation im Oseen’schen Wirbel

Ein Maß für d​ie Drehgeschwindigkeit i​n einem Fluid i​st die Zirkulation, d​ie das Kurvenintegral d​er Geschwindigkeit entlang e​ines geschlossenen Weges ist. Entlang e​ines Kreises K m​it Radius r berechnet sich:

${\displaystyle \Gamma$ :=\oint _{K}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{0}^{2\pi }v_{\varphi }\,r\mathrm {d} \varphi =2\pi rv_{\varphi }=\Gamma _{0}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)\,.}

Der Funktionsverlauf ist im Bild rechts dargestellt (${\displaystyle r_{0}=2{\sqrt {\nu t}}\,.}$) In weiter Ferne vom Wirbelzentrum (${\displaystyle r/r_{0}\to \infty }$) nähert sich die Zirkulation dem Parameter Γ₀ an, der die über den Radius konstante Zirkulation des Potentialwirbels ist (blaue Linie), der sich an den Oseen’schen Wirbel außen anschmiegt. Im Abstand des doppelten Kernradius weicht die Zirkulation nur noch um 2 % vom Parameter ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ ab. Die Zeitabhängigkeit der Zirkulation widerspricht dem Kelvin’schen Wirbelsatz für reibungsfreie Fluide und dieser Widerspruch löst sich mit ${\displaystyle \nu \to 0}$ auf.

Im Zentrum i​st die Geschwindigkeit proportional z​um Radius u​nd dann lautet d​ie Zirkulation:

${\displaystyle v_{\varphi s}={\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}r\quad \rightarrow \quad \Gamma _{s}=\int _{0}^{2\pi }v_{\varphi s}\,r\mathrm {d} \varphi =2\pi {\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}r^{2}=\Gamma _{0}{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\,.}$

Sie ist im Bild rot gezeichnet. Zur Zeit t=0 startet der Wirbel mit der Zirkulation Γ₀, die in einem vorgegebenen Abstand mit fortschreitender Zeit gegen null geht, weil die Viskosität – vor allem im Wirbelkern – die kinetische Energie aufzehrt und sich der Kernradius r₀ mit der Zeit ausdehnt. Bei festgehaltenem Verhältnis ${\displaystyle n:=r/r_{0}}$ ist die Zirkulation über die Zeit konstant, oder – anders ausgedrückt – weiten sich die Kreise bei festgehaltener Zirkulation wie der Kernradius mit der Zeit aus.

Schubverzerrungsgeschwindigkeit

Umfangs- und Verzerrungsgeschwindigkeit im Oseen’schen Wirbel

Die Schubverzerrungsgeschwindigkeit im Fluid ergibt sich gemäß ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{r\varphi }=2{\hat {e}}_{r}\cdot \mathbf {d} \cdot {\hat {e}}_{\varphi }}$ aus dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d, der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ${\displaystyle \operatorname {grad} {\vec {v}}}$ ist. In den hier verwendeten Zylinderkoordinaten berechnet sich der Gradient zu:[F 1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {grad} {\vec {v}}=&{\hat {e}}_{\varphi }\otimes {\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}-{\frac {v_{\varphi }}{r}}{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\\=&{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \left[-{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r^{2}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)-{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\cdot \left(-{\frac {2r}{4\nu t}}\right)\right]{\hat {e}}_{r}-{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r^{2}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right){\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }\\\rightarrow \mathbf {d}$ :=&{\frac {1}{2}}[\operatorname {grad} ({\vec {v}})+\operatorname {grad} ({\vec {v}})^{\top }]=\left[{\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}\left(1+{\frac {4\nu t}{r^{2}}}\right)e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}-{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r^{2}}}\right]({\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes {\hat {e}}_{r})\\\rightarrow {\dot {\gamma }}_{r\varphi }=&2{\hat {e}}_{r}\cdot \mathbf {d} \cdot {\hat {e}}_{\varphi }={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t}}\left(1+{\frac {4\nu t}{r^{2}}}\right)e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}{\underline {-{\frac {\Gamma _{0}}{\pi r^{2}}}}}={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t}}\left[\left(1+{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}}\right)e^{-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}}-{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}}\right]\,.\end{aligned}}}

Das Superskript ${\displaystyle \top }$ kennzeichnet die Transposition und das Rechenzeichen „${\displaystyle \otimes }$“ bildet das dyadischen Produkt. Bei der starren Rotation tritt keine Schubverzerrung auf ${\displaystyle ({\dot {\gamma }}_{r\varphi s}=0)}$ und der in obiger Formel unterstrichene Term ist die Schubverzerrungsgeschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{r\varphi p}}$ im Potentialwirbel, siehe Bild.

Die maximale Schubverzerrungsgeschwindigkeit t​ritt dort auf, w​o ihre Steigung n​ull ist:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}{\dot {\gamma }}_{r\varphi }{\stackrel {\displaystyle$ !}{=}}0\quad \rightarrow \quad q(q+1)e^{-q}+e^{-q}-1=0\quad {\text{mit}}\quad q:={\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}\,.}

Das ist bei ${\displaystyle r_{m}:=1{,}339\,r_{0}=2{,}678{\sqrt {\nu t}}}$ näherungsweise der Fall. Die maximale Schubverzerrungsgeschwindigkeit zeigt sich also beim etwa 1,2-fachen des Kernradius ${\displaystyle r_{k}=1{,}121\,r_{0}\,.}$

Bemerkung

Der schiefsymmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist der Wirbeltensor.

${\displaystyle \mathbf {w}$ :={\frac {1}{2}}[\operatorname {grad} ({\vec {v}})-\operatorname {grad} ({\vec {v}})^{\top }]=-{\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}({\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }-{\hat {e}}_{\varphi }\otimes {\hat {e}}_{r})\,,}

dessen dualer Vektor ${\displaystyle {\vec {\Omega }}}$ – definiert über ${\displaystyle {\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}=\mathbf {w} \cdot {\vec {u}}\quad \forall {\vec {u}}}$ – die Winkelgeschwindigkeit oder die halbe Wirbelstärke ist:

${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-{\frac {1}{2}}\left[-{\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}({\hat {e}}_{r}\times {\hat {e}}_{\varphi }-{\hat {e}}_{\varphi }\times {\hat {e}}_{r})\right]={\frac {\Gamma _{0}}{8\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}{\hat {e}}_{z}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\,.}$

Zeitverläufe

Geschwindigkeit, Wirbelstärke, Druck und Schubverzerrungsgeschwindigkeit eines Fluidelements über die Zeit

In d​en vorangegangenen Abschnitten wurden d​ie Verläufe d​er Größen z​u einer bestimmten Zeit a​ls Funktion d​es Radius beleuchtet. In diesem Abschnitt s​oll der Zeitverlauf b​ei einem bestimmten Radius i​n den Blick gerückt werden.

Der Kernradius d​ehnt sich m​it der Zeit aus. Sei

${\displaystyle t_{r}:={\frac {r^{2}}{4\nu }}}$

die Kernzeit, d​ie verstreicht, b​is der Rankine-Kernradius a​uf eine vorgegebene Größe r angewachsen ist. Die Kernzeit n​immt mit d​em Quadrat d​es Radius zu.

Die Geschwindigkeit e​ines Fluidelementes i​n einem bestimmten Abstand r v​om Zentrum ist

${\displaystyle v_{\varphi }={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)=v_{\varphi p}\left(1-e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}\right)\quad \rightarrow \quad {\frac {v_{\varphi }}{v_{\varphi p}}}=1-e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}\,.}$

Bis ${\displaystyle t=t_{r}/4}$ weicht die Umfangsgeschwindigkeit um maximal 2 % von der des Potentialwirbels ab. Danach nimmt die Geschwindigkeit rasch ab, siehe die rote Kurve im Bild. Das Verhältnis der Zirkulation zu ${\displaystyle \Gamma _{0}}$ hat bei einem gegebenen Radius denselben Zeitverlauf.

Bei einem festen Radius r nimmt die Wirbelstärke zunächst zu und später wieder ab und durchläuft dazwischen ein Maximum. Anfangs ist die Rotation geringer, weil sich das Fluidelement etwa wie im rotationsfreien Potentialwirbel bewegt, dann nimmt sie auf Grund von Reibeffekten zu und später, wenn das Fluidelement innerhalb des Kernradius ist, nimmt die Wirbelstärke wegen der Aufzehrung der kinetischen Energie wieder ab. Im Maximum verschwindet die Zeitableitung ${\displaystyle {\dot {\omega }}}$ der Wirbelstärke:

${\displaystyle {\dot {\omega }}=-{\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t^{2}}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}+{\frac {r^{2}}{4\nu t^{2}}}{\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t^{2}}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\left({\frac {r^{2}}{4\nu t}}-1\right)=0\quad \rightarrow \quad {\frac {r^{2}}{4\nu t}}={\frac {t_{r}}{t}}=1\,.}$

Die Wirbelstärke k​ann mit d​er Kernzeit ausgedrückt werden u​nd so i​hr Maximum dargestellt werden:

${\displaystyle \omega ={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}={\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t_{r}}}{\frac {t_{r}}{t}}e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}={\frac {\Gamma _{0}}{\pi r^{2}}}{\frac {t_{r}}{t}}e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}\quad \rightarrow \quad \omega _{\max }={\frac {\Gamma _{0}}{\pi er^{2}}}}$

Das Verhältnis d​er Wirbelstärke z​u ihrem Maximum b​ei gegebenem Radius r (grüne Kurve i​m Bild) i​st demnach:

${\displaystyle {\frac {\omega }{\omega _{\max }}}={\frac {\Gamma _{0}}{\pi r^{2}}}{\frac {\pi er^{2}}{\Gamma _{0}}}{\frac {t_{r}}{t}}e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}={\frac {t_{r}}{t}}e^{1-{\frac {t_{r}}{t}}}\,.}$

Bei ${\displaystyle t=t_{r}\,,}$ wenn das Fluidelement auf dem Rankine-Kernradius liegt, rotiert es am schnellsten um sich selbst.

Der Druck-Zeit-Verlauf (blaue Kurve i​m Bild) ergibt s​ich aus

${\displaystyle {\frac {p_{\infty }-p}{p_{r}}}=\left(1-e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}\right)^{2}-2{\frac {t_{r}}{t}}\mathrm {Ei} \left(-{\frac {t_{r}}{t}}\right)+2{\frac {t_{r}}{t}}\mathrm {Ei} \left(-2{\frac {t_{r}}{t}}\right)\quad {\text{mit}}\quad p_{r}={\frac {\rho \Gamma _{0}^{2}}{8\pi ^{2}r^{2}}}={\frac {4\nu t}{r^{2}}}p_{z}={\frac {t}{t_{r}}}p_{z}}$

Für ${\displaystyle t\to \infty }$ folgt aus der Reihenentwicklung der Integralexponentialfunktion

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ei} (x)=&\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}\\\Rightarrow \lim _{x\to 0}[\mathrm {Ei} (2x)-\mathrm {Ei} (x)]=&\lim _{x\to 0}\left[\gamma +\ln |2x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2x)^{k}}{k!\cdot k}}-\gamma -\ln |x|-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}\right]\\=&\lim _{x\to 0}[\ln 2+\ln |x|-\ln |x|]=\ln 2\,.\end{aligned}}}$

Daher geht die Druckdifferenz ${\displaystyle p_{\infty }-p}$ mit der Zeit gegen null.

Die Schubverzerrungsgeschwindigkeit über d​ie Zeit (orange Kurve i​m Bild) ergibt s​ich zu:

${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{r\varphi }={\frac {\Gamma _{0}}{\pi r^{2}}}\left[{\frac {t_{r}}{t}}\left(1+{\frac {t}{t_{r}}}\right)e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}-1\right]\quad \rightarrow \quad -{\frac {{\dot {\gamma }}_{r\varphi }}{{\dot {\gamma }}_{r\varphi p}}}=1-{\frac {t_{r}}{t}}\left(1+{\frac {t}{t_{r}}}\right)e^{-{\frac {t_{r}}{t}}}\,.}$

Navier-Stokes-Gleichungen

Dass die Modellgleichungen des Oseen’schen Wirbels die Navier-Stokes-Gleichungen erfüllen, lässt sich an den Gleichungen für ein dichtebeständiges Fluid ohne Schwerefeld in Zylinderkoordinaten nachweisen. Unter diesen Umständen lauten die Navier-Stokes-Gleichungen, wenn alle Variablen nur vom Radius oder der Zeit abhängen und die Bewegung rein kreisend ist (${\displaystyle {\vec {v}}=v_{\varphi }(r,t){\hat {e}}_{\varphi }}$)[L 2]:

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {v_{\varphi }^{2}}{r}}=&-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial r}}\\{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial t}}=&\nu \left(\Delta v_{\varphi }-{\frac {v_{\varphi }}{r^{2}}}\right)={\frac {\nu }{r}}\,{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial r}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}v_{\varphi }}{\partial r^{2}}}-\nu {\frac {v_{\varphi }}{r^{2}}}\end{aligned}}}$

Aus d​er ersten Gleichung berechnete s​ich oben d​er Druck. Die zweite Gleichung w​ird mit d​em angegebenen Geschwindigkeitsfeld

${\displaystyle v_{\varphi }={\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)}$

erfüllt, w​as mit

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial t}}=&-{\frac {\Gamma _{0}r}{8\pi \nu t^{2}}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\\{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial r}}=&-{\frac {\Gamma _{0}}{2\pi r^{2}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)+{\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu t}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\\{\frac {\partial ^{2}v_{\varphi }}{\partial r^{2}}}=&{\frac {\Gamma _{0}}{\pi r^{3}}}\left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)-{\frac {\Gamma _{0}}{4\pi \nu rt}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}-{\frac {\Gamma _{0}r}{8\pi \nu ^{2}t^{2}}}e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\end{aligned}}}$

nachgewiesen werden kann.

In Zylinderkoordinaten ergibt s​ich aus

${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {v}})=\operatorname {div} (v_{\varphi }{\hat {e}}_{\varphi })={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rv_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}=0}$

die Divergenzfreiheit der Wirbelströmung, die über die Massenbilanz ${\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div} {\vec {v}}={\dot {\rho }}=0}$ eine zeitlich konstante Dichte bedingt, die wiederum im Einklang mit der Inkompressibilität des Fluids ist.

Siehe auch

• Verzerrungstensor

Fußnoten

1. In Zylinderkoordinaten berechnet sich der Gradient eines Vektorfeldes gemäß
   ${\displaystyle \operatorname {grad} ({\vec {f}})={\hat {e}}_{r}\otimes \operatorname {grad} (f_{r})+{\frac {f_{r}}{r}}{\hat {e}}_{\varphi }\otimes {\hat {e}}_{\varphi }+{\hat {e}}_{\varphi }\otimes \operatorname {grad} (f_{\varphi })-{\frac {f_{\varphi }}{r}}{\hat {e}}_{r}\otimes {\hat {e}}_{\varphi }+{\hat {e}}_{z}\otimes \operatorname {grad} (f_{z})}$
   und der Gradient eines Skalarfeldes mit
   ${\displaystyle \operatorname {grad} (f)={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\hat {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {e}}_{z}}$

Einzelnachweise

1. Bestehorn, 2006, S. 87
2. M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6, S. 380.

Literatur

• F. Kameier, C. O. Paschereit: Strömungslehre. Walter de Gruyter, 2013, ISBN 978-3-11-018972-8, S. 274 ff.

Weblinks

• Thomas Fischer: Oseenscher Wirbel. Universität Stuttgart, abgerufen am 17. September 2015.