Neumann-Reihe

In der Mathematik ist eine Neumann-Reihe (oder Neumannsche Reihe) eine Reihe der Form ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n}}$, wobei ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ ein stetiger linearer Operator auf einem normierten Raum ${\displaystyle \left.X\right.}$ ist und ${\displaystyle \left.T\right.^{0}:=\mathrm {Id} _{X}}$.

Die Reihe entspricht formal e​iner geometrischen Reihe u​nd ist n​ach dem Mathematiker Carl Gottfried Neumann benannt, d​er sie 1877 i​n der Potentialtheorie verwendete. Sie findet u. a. Anwendung i​n der Funktionalanalysis z​um Lösen v​on Operatorgleichungen u​nd ist wichtig b​ei der Untersuchung stetiger Operatoren, vgl. Spektrum (Operatortheorie).

Eigenschaften

Sei ${\displaystyle \left(X,\left\|\cdot \right\|\right)}$ ein normierter Raum und ${\displaystyle T\colon X\rightarrow X}$ ein stetiger Operator, ${\displaystyle T\in L(X)}$. Dabei ist ${\displaystyle L(X)}$ der Raum der linearen, beschränkten – und somit stetigen – Operatoren auf ${\displaystyle X}$.

• Falls die Neumann-Reihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T^{n}}$ im Raum ${\displaystyle \left.L(X)\right.}$ bezüglich der Operatornorm konvergiert, dann ist ${\displaystyle A=\left(\mathrm {Id} -T\right)}$ invertierbar und es gilt

${\displaystyle A^{-1}=\left(\mathrm {Id} -T\right)^{-1}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }T^{k}}$.

• Die Neumann-Reihe konvergiert, falls ${\displaystyle \left(X,\left\|.\right\|\right)}$ ein Banachraum ist und für die Operatornorm ${\displaystyle \left\|T\right\|<1}$ gilt. Dann gilt auch:

${\displaystyle \left\|(\mathrm {Id} -T)^{-1}\right\|\leq \left(1-\|T\|\right)^{-1}}$.

• Es sind auch schwächere Voraussetzungen bekannt, unter denen die Reihe konvergieren kann, z. B. ist es ausreichend, wenn nur für eine Potenz des Operators ${\displaystyle T}$ die Bedingung ${\displaystyle \;\|T^{n}\|<1\;}$ gilt. Dann ist

${\displaystyle {\begin{aligned}(I-T)^{-1}=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \left(I-T^{n}\right)^{-1}\\=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \sum \limits _{k=0}^{\infty }T^{kn}.\end{aligned}}}$

Invertierbarkeit linearer Operatoren

Ist ${\displaystyle V}$ ein Banachraum, z. B. ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, und ${\displaystyle A\colon V\to V}$ ein beschränkter Operator, z. B. eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, so kann ${\displaystyle A}$ für jeden Skalierungsfaktor ${\displaystyle \gamma >0}$ als

${\displaystyle A={\tfrac {1}{\gamma }}(I-T_{\gamma })\;}$ mit ${\displaystyle \;T_{\gamma }=I-\gamma \,A}$

dargestellt werden.

Gibt es nun einen Skalierungsfaktor, mit welchem ${\displaystyle \|T_{\gamma }\|_{{}_{V\to V}}<1}$ in der induzierten Operatornorm gilt, so ist ${\displaystyle A}$ invertierbar und die Inverse ist, unter Benutzung der Neumann-Reihe,

${\displaystyle A^{-1}=\gamma \left(I+\sum _{k=1}^{\infty }T_{\gamma }{}^{k}\right)=\gamma \left(I+\sum _{k=1}^{\infty }(I-\gamma \,A)^{k}\right)}$.

Offenheit der Menge der invertierbaren Operatoren

Seien ${\displaystyle B,B'}$ zwei Banachräume und ${\displaystyle S\colon B\to B'}$ ein invertierbarer Operator. Dann gilt für jeden weiteren Operator ${\displaystyle T\colon B\to B'}$:

Gilt für den Abstand in der Operatornorm von ${\displaystyle S}$ zu ${\displaystyle T}$ die Abschätzung ${\displaystyle \|T-S\|\leq q\,\|S^{-1}\|^{-1}}$ mit ${\displaystyle 0<q<1}$, so ist ${\displaystyle T}$ ebenfalls invertierbar und die Inverse hat die Operatornorm

${\displaystyle \|T^{-1}\|\leq {\tfrac {1}{1-q}}\|S^{-1}\|}$.

Zum Beweis: Es wird ${\displaystyle T=S(I-(I-S^{-1}T))}$ zerlegt und auf den zweiten Faktor die Neumann-Reihe angewandt. Die Konvergenz ist gesichert, denn nach Voraussetzung gilt:

${\displaystyle \|I-S^{-1}T\|\leq \|S^{-1}\|\,\|S-T\|\leq q<1}$.

Als Folge ergibt sich, d​ass die Menge d​er invertierbaren Operatoren offen i​st bzgl. d​er Topologie d​er Operatornorm.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7