Grothendieck-Gruppe

Die Grothendieck-Gruppe i​st eine mathematische Konstruktion, d​ie einer kommutativen Halbgruppe e​ine Gruppe zuordnet. Diese n​ach Alexander Grothendieck benannte Konstruktion i​st der Lokalisierung a​us der Ringtheorie nachempfunden u​nd kann w​ie diese d​urch eine universelle Eigenschaft beschrieben werden.

Universelle Eigenschaft

Es g​ilt folgender Satz:

Ist ${\displaystyle H}$ eine kommutative Halbgruppe, so gibt es eine kommutative Gruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}(H)}$ und einen Halbgruppen-Homomorphismus ${\displaystyle \phi _{H}\colon H\rightarrow {\mathcal {G}}(H)}$ mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Gruppe ${\displaystyle G}$ und jedem Halbgruppen-Homomorphismus ${\displaystyle \phi \colon H\rightarrow G}$ gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus ${\displaystyle \psi \colon {\mathcal {G}}(H)\rightarrow G}$ mit ${\displaystyle \phi =\psi \circ \phi _{H}}$.

Konstruktion

Ein Beweis ergibt sich aus folgender Konstruktion, die der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden ist. Sei ${\displaystyle H}$ eine kommutative Halbgruppe. Auf dem kartesischen Produkt ${\displaystyle H^{2}=H\times H}$ definiere man eine Äquivalenzrelation durch

${\displaystyle (x,y)\sim (x',y')\quad :\Leftrightarrow \quad \exists t\in H:x+y'+t=x'+y+t}$.

Man zeigt nun, dass dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation definiert, die Äquivalenzklasse von ${\displaystyle (x,y)}$ wird mit ${\displaystyle [(x,y)]}$ bezeichnet. Man setzt nun ${\displaystyle {\mathcal {G}}(H):=H^{2}/\sim }$ und zeigt weiter, dass durch ${\displaystyle [(x,y)]+[(x',y')]:=[(x+x',y+y')]}$ eine Gruppenverknüpfung auf ${\displaystyle {\mathcal {G}}(H)}$ definiert wird. Dabei ist ${\displaystyle [(x,x)]}$ das neutrale Element (unabhängig von ${\displaystyle x\in H}$), die Inversenbildung ist durch die Formel ${\displaystyle -[(x,y)]=[(y,x)]}$ gegeben. Setzt man schließlich ${\displaystyle \phi _{H}\colon H\rightarrow {\mathcal {G}}(H),x\mapsto [(x+x,x)]}$, so kann man zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {G}}(H)}$ und ${\displaystyle \phi _{H}}$ die Bedingung aus der universellen Eigenschaft erfüllen.

Eigenschaften

• Wie üblich zeigt man mit Hilfe der universellen Eigenschaft, dass die Gruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}(H)}$ bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Man nennt daher ${\displaystyle {\mathcal {G}}(H)}$ die Grothendieck-Gruppe von ${\displaystyle H}$.
• Der Halbgruppen-Homomorphismus ${\displaystyle \phi _{H}}$ aus obiger universeller Eigenschaft ist genau dann injektiv, wenn die Halbgruppe die Kürzbarkeitseigenschaft hat.

Beispiele

• Für die Halbgruppe ${\displaystyle H=(\mathbb {N} ,+)}$ fällt die Bildung der Grothendieck-Gruppe mit der üblichen Konstruktion der ganzen Zahlen zusammen. Man hat daher ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbb {N} ,+)\cong \mathbb {Z} }$, wobei der Isomorphismus durch ${\displaystyle [(n,m)]\mapsto n-m}$ gegeben ist. Identifiziert man die Grothendieck-Gruppe von ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, so ist ${\displaystyle \phi _{H}}$ die Inklusion ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} }$. Dabei spielt es keine Rolle, ob man unter ${\displaystyle \mathbb {N} }$ die natürlichen Zahlen mit oder ohne Null versteht.
• Ganz ähnliche Überlegungen zur multiplikativen Halbgruppe ${\displaystyle H=(\mathbb {N} \setminus \{0\},\cdot )}$ führen zu ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbb {N} \setminus \{0\},\cdot )\cong (\mathbb {Q} ^{+},\cdot )}$, und bei dieser Identifikation fällt ${\displaystyle \phi _{H}}$ wieder mit der Inklusion ${\displaystyle \mathbb {N} \setminus \{0\}\subset \mathbb {Q} ^{+}}$ zusammen.
• Bei der multiplikativen Halbgruppe ${\displaystyle H=(\mathbb {N} _{0},\cdot )}$ (der Index 0 signalisiere, dass die Null zu ${\displaystyle N_{0}}$ gehört) liegt keine Kürzungseigenschaft vor. In diesem Fall sind je zwei Paare ${\displaystyle (m,n)}$ und ${\displaystyle (m',n')}$ äquivalent, denn es gilt ${\displaystyle m\cdot n'\cdot 0=m'\cdot n\cdot 0}$. Daher ist ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\mathbb {N} _{0},\cdot )\cong \{0\}}$ und ${\displaystyle \phi _{H}(n)=0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.

Grothendieck-Gruppe als Funktor

Die oben beschriebene Konstruktion ordnet jeder kommutativen Halbgruppe eine kommutative Gruppe zu. Ist ${\displaystyle \phi \colon H\rightarrow K}$ ein Halbgruppen-Homomorphismus in der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ der kommutativen Halbgruppen, so kann man wie folgt einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\phi )\colon {\mathcal {G}}(H)\rightarrow {\mathcal {G}}(K)}$ konstruieren. Mittels ${\displaystyle \phi _{K}\colon K\rightarrow {\mathcal {G}}(K)}$ erhält man zunächst einen Halbgruppen-Homomorphismus ${\displaystyle \phi _{K}\circ \phi \colon H\rightarrow {\mathcal {G}}(K)}$ und daraus mittels der universellen Eigenschaft einen Gruppen-Homomorphismus ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\phi )\colon {\mathcal {G}}(H)\rightarrow {\mathcal {G}}(K)}$ mit ${\displaystyle \phi _{K}\circ \phi ={\mathcal {G}}(\phi )\circ \phi _{H}}$.

Durch diese Definition wird ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ in die Kategorie ${\displaystyle {{\mathcal {A}}b}}$ der abelschen Gruppen.

Betrachtet man eine abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ nur als Halbgruppe, so kann man ${\displaystyle {\mathcal {G}}(G)}$ bilden. Es stellt sich heraus, dass ${\displaystyle {\mathcal {G}}(G)\cong G}$, wobei der Isomorphismus durch ${\displaystyle [(x,y)]\mapsto x-y}$ gegeben ist. In der Tat ist ${\displaystyle {\mathcal {G}}\colon {\mathcal {H}}\rightarrow {{\mathcal {A}}b}}$ linksadjungiert zum Vergissfunktor ${\displaystyle {{\mathcal {A}}b}\rightarrow {\mathcal {H}}}$.

Anwendung

Neben der oben beschriebenen Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist die Bildung der K₀-Gruppe eines Ringes eine wichtige Anwendung. Zu jedem Ring ${\displaystyle R}$ betrachtet man die Menge (!) ${\displaystyle \mathrm {Proj} (R)}$ der Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver ${\displaystyle R}$-links-Moduln mit der direkten Summe als Halbgruppenverknüpfung. Die K₀-Gruppe des Ringes ${\displaystyle R}$ wird dann als Grothendieck-Gruppe von ${\displaystyle \mathrm {Proj} (R)}$ definiert.

Literatur

• Jonathan Rosenberg: Algebraic K-Theory and Its Applications (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 147). Springer, New York NY u. a. 1994, ISBN 3-540-94248-3.