Eigenmode

Eigenmoden o​der Normalmoden s​ind spezielle Bewegungen e​ines schwingungsfähigen Systems. Es handelt s​ich – n​eben der gleichförmigen Bewegung d​es ganzen Systems – u​m diejenigen periodischen Bewegungen, b​ei denen a​lle Komponenten d​es Systems d​ie gleiche Frequenz zeigen, w​enn das System n​ach einer Anregung s​ich selbst überlassen bleibt. Eine solche Frequenz w​ird als Eigenfrequenz d​es Systems bezeichnet, d​ie entsprechende Eigenmode a​uch als Eigenschwingung, d​enn bei kleinen Amplituden s​ind es ungedämpfte harmonische Schwingungen. Jede Bewegung d​es Systems k​ann als e​ine Überlagerung v​on verschiedenen Eigenmoden dargestellt werden. Die Anzahl verschiedener Eigenmoden i​st gleich d​er Anzahl d​er Freiheitsgrade d​es Systems.

Die Eigenmoden u​nd -frequenzen e​ines Systems hängen d​avon ab, a​us welchen Bestandteilen d​as System aufgebaut i​st und w​ie diese aufeinander einwirken. Die Eigenfrequenzen d​er Saite e​ines Musikinstruments werden beispielsweise d​urch ihre Länge, i​hr Material u​nd ihre mechanische Spannung bestimmt. Ähnliches g​ilt für a​lle schwingungsfähigen Systeme.

Das Wort Eigenmode leitet s​ich ab v​om englischen Mode o​der lateinischen Modus, w​as in beiden Fällen e​twa „Art u​nd Weise“ bedeutet, u​nd von Eigenwert, e​inem Begriff a​us der Algebra. In d​er Sichtweise d​er theoretischen Physik bilden d​ie Eigenmoden nämlich e​ine diskrete Basis, m​it der a​lle dem System möglichen Bewegungen dargestellt werden können. Die Eigenmoden u​nd Eigenfrequenzen ergeben s​ich aus d​en Bewegungsgleichungen d​es Systems a​ls Eigenvektoren bzw. Eigenwerte dieses Gleichungssystems. Die gleichförmige Bewegung w​ird als e​ine Eigenmode m​it der Frequenz Null dargestellt.

Theorie

Die Lagrangefunktion eines Systems mit ${\displaystyle f}$ Freiheitsgraden sei

${\displaystyle L(q_{1},\dots ,q_{f},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{f})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1},\dots ,q_{f}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-U(q_{1},\dots ,q_{f})}$

wobei ${\displaystyle m_{ij}}$ die Massenmatrix und ${\displaystyle U}$ das Potential ist. Bei der Näherung der Lagrangefunktion bis in zweiter Ordnung um die Gleichgewichtskoordinaten ${\displaystyle q^{0}}$ und der Vernachlässigung des konstanten Terms wird dies zu

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\bigg |}_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}(q_{i}-q_{i}^{0})(q_{j}-q_{j}^{0})}$

respektive mit der Koordinatentransformation ${\displaystyle x=q-q^{0}}$ und den Abkürzungen ${\displaystyle T_{ij}=T_{ji}=m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0})}$ sowie ${\displaystyle V_{ij}=V_{ji}=\partial ^{2}U/\partial q_{i}\partial q_{j}|_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}}$ kurz

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}\left(T_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-V_{ij}x_{i}x_{j}\right)}$

Aus d​en Lagrangegleichungen ergeben s​ich die Bewegungsgleichungen d​es Systems

${\displaystyle \sum _{j=1}^{f}T_{ij}{\ddot {x}}_{j}=-\sum _{j=1}^{f}V_{ij}x_{j}\Leftrightarrow T{\ddot {x}}=-Vx}$

wobei sowohl ${\displaystyle T}$ als auch ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\times f}$-Matrizen und ${\displaystyle x}$ ein ${\displaystyle f}$-dimensionaler Vektor ist. Da die kinetische Energie immer größer als Null ist, ist ${\displaystyle T}$ positiv definit. Damit sich das System in einem stabilen oder indifferenten Gleichgewicht befindet, muss ${\displaystyle V}$ positiv semidefinit sein. Insbesondere sind daher alle Eigenwerte von ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle V}$ nichtnegativ.

Der Lösungsansatz d​er Gleichung lautet:

${\displaystyle x(t)=A\exp(-\mathrm {i} \omega t)}$

Dies führt a​uf das verallgemeinerte Eigenwertproblem

${\displaystyle (V-\omega ^{2}T)A=0}$.

Um dieses nichttrivial zu lösen, muss die Determinante ${\displaystyle \det(V-\omega ^{2}T)}$ verschwinden. Diese ist das charakteristische Polynom vom Grad ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle \omega ^{2}}$ und besitzt daher ${\displaystyle f}$ Nullstellen. Die Symmetrie von ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle V}$ sorgt dafür, dass die Eigenwerte alle reell sind, siehe Spektralzerlegung (Mathematik), und diese sind zudem nichtnegativ, wegen der positiven (Semi-)Defintheit der beteiligten Matrizen. Physikalisch kann dies wie folgt interpretiert werden: Angenommen, es gäbe eine Nullstelle im Negativen oder Komplexen, dann würde ${\displaystyle \omega }$ einen Imaginärteil besitzen und die Lösung divergieren. Dies steht im Widerspruch zur Annahme des stabilen Gleichgewichts.

Die (positiven) Wurzeln d​er Nullstellen d​es Polynoms

${\displaystyle P^{(f)}(\omega ^{2})=\det(V-\omega ^{2}T)}$

sind die Eigenfrequenzen ${\displaystyle \omega _{k}}$ des Systems, das durch ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle V}$ beschrieben wird. Ein System mit ${\displaystyle f}$ Freiheitsgraden besitzt daher maximal ${\displaystyle f}$ Eigenfrequenzen.

Die ${\displaystyle f}$ Eigenschwingungen des Systems sind die ${\displaystyle f}$ Eigenvektoren des Eigenwertproblems, die die Gleichung

${\displaystyle (V-\omega _{k}^{2}T)A^{(k)}=0}$

erfüllen. Insbesondere ist jedes Vielfache eines Eigenvektors auch ein Eigenvektor. Das bedeutet, diese können normiert und mit einer komplexen Konstanten ${\displaystyle c_{k}}$ multipliziert werden.

Fallen mehrere Eigenfrequenzen zusammen, dann hat die Gleichung nicht vollen Rang und einige Komponenten der zugehörigen ${\displaystyle A^{(k)}}$ können frei gewählt werden. Hat die Matrix ${\displaystyle V}$ einen Eigenwert Null, liegt ein indifferentes Gleichgewicht vor. Dann ist auch eine Eigenfrequenz des Systems Null. In diesem Fall lautet die Eigenwertgleichung ${\displaystyle {\ddot {x}}=0}$, sodass die Lösung eine gleichförmige Bewegung des Systems ist.

Die allgemeine Lösung d​es Gleichungssystems für d​ie Schwingung d​es Systems i​st eine Superposition seiner Eigenschwingungen u​nd gegebenenfalls e​iner gleichförmigen Bewegung

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=1 \atop \omega _{k}\neq 0}^{f}\operatorname {Re} \left(c_{k}A^{(k)}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)+\sum _{k=1 \atop \omega _{k}=0}^{f}A^{(k)}\left(x_{k}^{0}+C_{k}t\right)}$

Für jeden Freiheitsgrad existieren daher entweder 2 reelle oder 1 komplexer freier Parameter. Es ergeben sich somit ${\displaystyle 2f}$ Konstanten, die durch Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen.

Normalkoordinaten

Die Normalkoordinaten ${\displaystyle Q}$ des Systems sind definiert als

${\displaystyle Q=a^{-1}x}$

wobei

${\displaystyle a=\left({A_{i}}^{(k)}\right)}$

ist, also die Matrix der Eigenvektoren. Diese Matrix der Eigenvektoren diagonalisiert sowohl ${\displaystyle V}$ als auch ${\displaystyle T}$, denn aus der Symmetrie von ${\displaystyle V}$ folgt

${\displaystyle \left(\omega _{k}^{2}-\omega _{l}^{2}\right)\sum _{i,j=1}^{f}T_{ij}a_{il}a_{jk}=0}$

sodass für alle nicht entarteten Eigenwerte alle Nichtdiagonalelemente von ${\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta}$ verschwinden müssen. Eine entsprechende Normierung der Eigenvektoren führt auf die Orthonormalitätsrelation

${\displaystyle a^{\mathrm {T} }Ta=1}$

Für entartete Eigenwerte können die Eigenvektoren ebenfalls so gewählt werden, dass diese Matrix diagonal wird. Ebenfalls kann gezeigt werden, dass ${\displaystyle a}$ auch ${\displaystyle V}$ diagonalisiert. Mit ${\displaystyle \lambda =\left(\omega _{k}^{2}\delta _{kl}\right)}$ kann die Bewegungsgleichung als

${\displaystyle Va=Ta\lambda }$

geschrieben werden, sodass die Behauptung durch Multiplikation mit ${\displaystyle a^{\mathrm {T} }}$ von links direkt folgt.

Somit entkoppelt eine Koordinatentransformation von den Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage ${\displaystyle x}$ in die Normalkoordinaten ${\displaystyle Q}$ mittels ${\displaystyle x=aQ}$ das Gleichungssystem, denn es gilt:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}^{\mathrm {T} }T{\dot {x}}-x^{\mathrm {T} }Vx\right)={\frac {1}{2}}\left({\dot {Q}}^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}-Q^{\mathrm {T} }\lambda Q\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\left({\dot {Q}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}Q_{k}^{2}\right)}$

Insbesondere ist

${\displaystyle Q_{k}=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)}$

Beispiele

Federpendel

→ Hauptartikel: Federpendel

Ein Federpendel ist ein System, an dem eine Masse an einer Feder aufgehängt ist und das sich nur in eine Dimension bewegen kann. Es besitzt also nur einen einzigen Freiheitsgrad, die Auslenkung aus der Ruhelage. Für das Federpendel gilt ${\displaystyle V=D}$ und ${\displaystyle T=m}$, wobei ${\displaystyle D}$ die Federkonstante und ${\displaystyle m}$ die Masse ist. Daher vereinfacht sich die Matrixgleichung auf eine skalare Gleichung

${\displaystyle (D-\omega ^{2}m)A=0}$

mit einem Polynom ersten Grades in ${\displaystyle \omega ^{2}}$

${\displaystyle P(\omega ^{2})=\det \left(D-\omega ^{2}m\right)=D-\omega ^{2}m=0\Leftrightarrow \omega ^{2}={\frac {D}{m}}}$

und e​inem Eigenvektor

${\displaystyle A=1}$.

Die Lösung i​st also

${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(c\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m}}}t\right)\right)}$

CO₂-Molekül

In erster Näherung kann ein Kohlendioxid-Molekül als drei Massen angesehen werden, von denen die äußeren beiden identischen Massen ${\displaystyle m_{O}}$ mit der mittleren Masse ${\displaystyle m_{C}}$ durch Federn verbunden sind. Da die Bindungen beide gleichartig sind, sind die Federkonstanten beide ${\displaystyle D}$. Die Indizes seien so gewählt, dass die Atome von links nach rechts durchnummeriert seien und es sei ferner angenommen, dass sich das Molekül nur entlang der Molekülachse bewegen könne, das heißt, es werden nur Valenz-, aber keine Deformationsschwingungen berücksichtigt. Daher existieren drei Freiheitsgrade des Systems: Die Entfernungen der drei Massen von ihrer Gleichgewichtslage. Dann gilt mit

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}m_{O}&&\\&m_{C}&\\&&m_{O}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle V=D{\begin{pmatrix}1&-1&\\-1&2&-1\\&-1&1\end{pmatrix}}}$

für d​ie Determinante d​es Systems

${\displaystyle P^{(k)}(\omega ^{2})=\omega ^{2}(D-\omega ^{2}m_{O})(\omega ^{2}m_{C}m_{O}-k(2m_{O}+m_{C}))}$

Dessen d​rei Nullstellen liegen bei

${\displaystyle \omega _{1}^{2}=0,\qquad \omega _{2}^{2}={\frac {D}{m_{O}}},\qquad \omega _{3}^{2}={\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}$

und d​ie Eigenvektoren sind

${\displaystyle A^{(1)}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\qquad A^{(2)}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\qquad A^{(3)}={\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}}$.

Dadurch ergibt s​ich die allgemeine Lösung zu

${\displaystyle x(t)={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\left(x_{1}^{0}+C_{1}t\right)+\operatorname {Re} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}c_{2}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m_{O}}}}t\right)+{\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}c_{3}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {{\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}}t\right)\right)}$.

Die e​rste Eigenschwingung i​st die Translation d​es gesamten Moleküls, d​ie zweite beschreibt d​ie gegenläufige Schwingung d​er beiden äußeren Sauerstoffatome, während d​as Kohlenstoffatom i​n Ruhe bleibt, u​nd die dritte d​ie gleichförmige Schwingung d​er beiden äußeren, w​obei das mittlere Atom gegenläufig schwingt.

Schwingende Saite

Eine schwingende Saite besitzt unendlich v​iele Freiheitsgrade u​nd entsprechend a​uch unendlich v​iele Eigenfrequenzen. Diese müssen jedoch d​en Randbedingungen d​es Problems genügen. Die Wellengleichung lautet

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{k}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0}$

wobei ${\displaystyle u(x,t)}$ die Auslenkung der Saite und ${\displaystyle c_{k}}$ die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. Die Lösung der Wellengleichung für ein festes ${\displaystyle k}$ ist

${\displaystyle u_{k}(x,t)=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} (\omega _{k}t-kx))\right)}$

mit ${\displaystyle \textstyle c_{k}={\frac {\omega _{k}}{k}}}$. Den Zusammenhang zwischen ${\displaystyle \omega _{k}}$ und ${\displaystyle k}$ nennt man die Dispersionsrelation des Systems. Für eine Saite ist ${\displaystyle \textstyle c_{k}={\sqrt {S/\rho }}}$ eine Konstante, die von der Spannung ${\displaystyle S}$ und der linearen Massendichte ${\displaystyle \rho }$ der Saite abhängt.[1]

Die Randbedingungen an die schwingende Saite ist, dass die Enden fest eingespannt sind und sich daher für eine Saite der Länge ${\displaystyle L}$ für alle ${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}$

sein muss. Dies führt z​u der Randbedingung

${\displaystyle k={\frac {\pi n}{L}}}$

mit einem beliebigen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und somit abzählbar unendlich vielen verschiedenen ${\displaystyle k}$ und entsprechend vielen ${\displaystyle \omega _{k}}$. Die Eigenfrequenzen der Saite sind daher

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {S}{\rho }}}{\frac {\pi n}{L}}}$

und d​ie allgemeine Lösung d​er Wellengleichung i​st eine Superposition über a​lle Eigenschwingungen:

${\displaystyle u(x,t)=\operatorname {Re} \left(\sum _{n}c_{n}\exp \left(-\mathrm {i} {\frac {\pi n}{L}}\left({\sqrt {\frac {S}{\rho }}}t-x\right)\right)\right)}$

Normalschwingungen von Molekülen

Ein ${\displaystyle N}$-atomiges Molekül hat ${\displaystyle 3N}$ Freiheitsgrade. Davon sind 3 Translationsfreiheitsgrade und im Fall eines linearen Moleküls 2 bzw. im Fall eines gewinkelten Moleküls 3 Rotationsfreiheitsgrade. Somit verbleiben ${\displaystyle 3N-5}$ bzw. ${\displaystyle 3N-6}$ Vibrationsfreiheitsgrade, die zu Eigenfrequenzen ungleich Null korrespondieren. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen können durch die gruppentheoretischen Charaktertafeln beschrieben werden. Die Normalschwingungen einer entarteten, von Null verschiedenen Eigenfrequenz stellen eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des schwingenden Moleküls dar.

Beim obigen Beispiel s​ind die anderen beiden Normalschwingungen d​ie vernachlässigten transversalen Schwingungen d​er Atome i​n den beiden übrigen Raumrichtungen, d​ie sich n​icht in d​er Linie d​er Atome befinden.

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch einen Zustandsvektor ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ dargestellt, der eine Lösung der Schrödingergleichung

${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }$

ist. Wenn d​er Hamiltonoperator n​icht zeitabhängig ist, i​st eine formale Lösung d​er Schrödingergleichung

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}Ht\right)|\psi (0)\rangle }$

Da der Hamiltonoperator ein vollständiges System von Eigenzuständen, den Energieeigenzuständen, besitzt, kann in diesen entwickelt werden. Mit ${\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$ folgt

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}E_{n}t\right)|n\rangle \langle n|\psi (0)\rangle }$

Dabei beschreiben die quantenmechanischen Eigenfrequenzen ${\displaystyle \omega _{n}=E_{n}/\hbar }$ keine Schwingung im Ortsraum, sondern eine Rotation im Hilbertraum, auf dem der Zustandsvektor definiert ist.

Technische Beispiele

Resonanz eines Lautsprechers

• Eine Glocke, die angeschlagen wird, schwingt anschließend mit den Eigenfrequenzen. Durch Dämpfung klingt die Schwingung über die Zeit ab. Dabei werden höhere Frequenzen schneller abgedämpft als tiefere.
• Eine Stimmgabel ist so konstruiert, dass außer der tiefsten Eigenfrequenz kaum weitere Eigenschwingungen angeregt werden.
• In Gebäuden können Eigenfrequenzen angeregt werden. Wenn beim Nachbarn Musik läuft, kann es vorkommen, dass die Frequenz eines Basstons mit einer Eigenfrequenz der Gebäudewand zusammenpasst. Die von der Musik angeregten Schwingungen der Wand sind dann mitunter sogar dann hörbar, wenn die Musik selber nicht wahrnehmbar wäre.
• Trommeln haben wie die meisten Musikinstrumente mehrere Eigenfrequenzen.
• Bei Lautsprechern verschlechtern die Partialschwingungen der Membranen die Wiedergabequalität.

Siehe auch

• Modalanalyse
• Mode (Physik)
• Resonanz, Resonanzkatastrophe, Resonanzfrequenz

Einzelnachweise

1. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, S. 293.

Literatur

• R. Gasch, K. Knothe, R. Liebich: Strukturdynamik: Diskrete Systeme und Kontinua. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-540-88976-2.
• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8.
• Hans-Ulrich Harten: Physik für Mediziner. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1993, ISBN 3-540-56759-3.
• Torsten Fließbach: Mechanik. 6. Auflage. Springer, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7.
• Julius Wess: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88574-0.
• R. Zurmühl, S. Falk: Matrizen und ihre Anwendungen 1. Grundlagen, Für Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-61436-2.