Wronski-Determinante

Mit Hilfe d​er Wronski-Determinante, d​ie nach d​em polnischen Mathematiker Josef Hoëné-Wroński (1776–1853) benannt wurde, k​ann man skalare Funktionen a​uf lineare Unabhängigkeit testen, w​enn diese hinreichend o​ft differenzierbar sind. Dies k​ann insbesondere b​eim Lösen e​iner gewöhnlichen Differentialgleichung e​in nützliches Hilfsmittel sein.

Definition

Für ${\displaystyle n}$ reell- oder komplexwertige Funktionen ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$ auf einem Intervall ${\displaystyle I}$ ist die Wronski-Determinante definiert durch

${\displaystyle W(f_{1},\dots ,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\dots &f_{n}(t)\\f_{1}^{(1)}(t)&f_{2}^{(1)}(t)&\dots &f_{n}^{(1)}(t)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\dots &f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}},\qquad t\in I,}$

wobei in der ersten Zeile die Funktionen stehen und in den weiteren Zeilen die hochgestellten Zahlen in Klammern die erste bis ${\displaystyle (n-1)}$-te Ableitung bezeichnen.

Eigenschaften

Die Berechnung der Wronski-Determinante von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung kann durch die Anwendung der Abelschen Identität vereinfacht werden, wenn im Fundamentalsystem in der Darstellung ${\displaystyle y''(t)-a_{1}y'(t)-a_{0}y(t)=0}$ der Koeffizient ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$ ist.

Kriterium für lineare Unabhängigkeit

Gilt ${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(t_{0})\neq 0}$ für ein ${\displaystyle t_{0}\in I}$, so sind die Funktionen ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ auf dem Intervall ${\displaystyle I}$ linear unabhängig. Andererseits folgt aus ${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(t)=0}$ für alle ${\displaystyle t\in I}$ nicht die lineare Abhängigkeit der Funktionen ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$. Das heißt, die Gleichheit bedingt nicht eine lineare Abhängigkeit auf dem Intervall ${\displaystyle I}$. Denn es gilt, dass die Funktionen lokal linear unabhängig sein können (siehe Gegenbeispiel).

Beispiel

Ausgehend v​om Sturm-Liouville-Problem w​ird die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\displaystyle -\psi ''=\lambda \psi }$

mit den Randbedingungen ${\displaystyle \psi (0)=\psi (\pi )=0}$ betrachtet. Als Lösungsansatz wird ${\displaystyle \psi (t)=\alpha \sin({\sqrt {\lambda }}t)+\beta \cos({\sqrt {\lambda }}t)}$ für ${\displaystyle \lambda >0}$ und beliebige ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ gewählt. Aufgrund der Randbedingungen ${\displaystyle \psi (0)=\psi (\pi )=0}$ ist ${\displaystyle \alpha \neq 0,\beta =0}$ und ${\displaystyle \sin({\sqrt {\lambda }}\pi )=0,}$ also ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}\pi =n\pi }$ und somit ${\displaystyle \lambda =n^{2}}$ für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Als Lösung wird daher

${\displaystyle \psi (t)=\alpha \sin(nt)}$

gewählt. Da eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung durch ${\displaystyle \phi =p\psi '=\psi '}$ mit ${\displaystyle p=1}$ gegeben ist (siehe Sturm-Liuoville-Problem), wird als zweite Lösung

${\displaystyle \phi (t)=\alpha n\cos(nt)}$

angenommen u​nd mittels d​er Wronski-Determinante a​uf lineare Unabhängigkeit geprüft. Es folgt

${\displaystyle W(\phi ,\psi )(t)={\begin{vmatrix}\phi (t)&\psi (t)\\\phi '(t)&\psi '(t)\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\alpha n\cos(nt)&\alpha \sin(nt)\\-\alpha n^{2}\sin(nt)&\alpha n\cos(nt)\end{vmatrix}}=(\alpha n)^{2}\cos ^{2}(nt)+(\alpha n)^{2}\sin ^{2}(nt)=(\alpha n)^{2}>0}$.

Also ist ${\displaystyle W(\phi ,\psi )(t)=\left|{\begin{smallmatrix}\phi (t)&\psi (t)\\\phi '(t)&\psi '(t)\end{smallmatrix}}\right|>0}$ für ${\displaystyle t\geq 0}$ (genauer für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$) und die lineare Unabhängigkeit der Funktionen ${\displaystyle \phi (t),\psi (t)}$ ist gegeben.

Gegenbeispiel

Als Gegenbeispiel dienen d​ie auf d​en reellen Zahlen definierten Funktionen

${\displaystyle f_{1}(t)={\begin{cases}0\ ,&{\mbox{falls }}t\leq 0,\\t^{2}\ ,&{\mbox{falls }}t>0,\end{cases}}\qquad {\mbox{und}}\qquad f_{2}(t)={\begin{cases}t^{2}\ ,&{\mbox{falls }}t\leq 0,\\0\ ,&{\mbox{falls }}t>0.\end{cases}}}$

Für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ gilt

${\displaystyle W(f_{1},f_{2})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)\\f'_{1}(t)&f'_{2}(t)\end{vmatrix}}=0.}$

Aber ${\displaystyle \lambda \ f_{1}(t)+\mu \ f_{2}(t)=0}$ führt für ${\displaystyle t=1}$ zu ${\displaystyle \lambda =0}$ und für ${\displaystyle t=-1}$ zu ${\displaystyle \mu =0}$, was die lineare Unabhängigkeit auf ${\displaystyle t=1}$ beziehungsweise für ${\displaystyle t=-1}$ der beiden Funktionen impliziert. Für ${\displaystyle t=0}$ gilt ${\displaystyle f_{1}(0)=0}$ und ${\displaystyle f_{2}(0)=0}$, was lineare Abhängigkeit in ${\displaystyle t=0}$ bedeutet.

Literatur

• H. Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, 1995, ISBN 3-519-22227-2, S. 250.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Wronskian. In: MathWorld (englisch).