Benjamini-Schramm-Konvergenz

In d​er Mathematik i​st Benjamini-Schramm-Konvergenz o​der kurz BS-Konvergenz e​in ursprünglich a​us der Graphentheorie stammender u​nd inzwischen a​uch in Geometrie u​nd Topologie Anwendung findender Begriff.

Die Idee ist, unendliche Graphen o​der nichtkompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit d​urch endliche Graphen o​der kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit z​u approximieren.

Benjamini-Schramm-Konvergenz von Graphen

Die folgende Definition w​urde von Itai Benjamini u​nd Oded Schramm i​n die Graphentheorie eingeführt.[1]

Definition

Zu jedem Graphen ${\displaystyle G}$ betrachten wir das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu _{G}}$ auf der Menge der Wurzelgraphen, welches der Gleichverteilung auf der Menge der Wurzelgraphen ${\displaystyle (G,o)}$ für Knoten ${\displaystyle o}$ von ${\displaystyle G}$ entspricht. (Insbesondere hat ${\displaystyle \mu _{G}}$ seinen Träger auf der Menge der Wurzelgraphen, deren zugrundeliegender Graph ${\displaystyle G}$ ist.)

Auf einem Graphen ${\displaystyle G}$ kann man eine Metrik dadurch definieren, dass jeder Kante die Länge 1 zugeordnet wird. Für einen Wurzelgraphen ${\displaystyle (G,o)}$ und ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ bezeichnet ${\displaystyle B_{G}(o,r)}$ den Untergraphen, der von allen Knoten aufgespannt wird, die von ${\displaystyle o}$ den Abstand kleiner als ${\displaystyle r}$ haben.

Eine Folge von Graphen beschränkter Valenz ${\displaystyle G_{n}}$ BS-konvergiert gegen einen Graph ${\displaystyle G_{\infty }}$, wenn für jeden Wurzelgraphen ${\displaystyle (H,o_{H})}$ und jedes ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle (G_{n},o)}$ zu ${\displaystyle (H,o_{H})}$ isomorph ist, konvergiert gegen die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle (G_{\infty },o)}$ zu ${\displaystyle (H,o_{H})}$ isomorph ist.

Die Kreisgraphen ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle C_{5}}$ und ${\displaystyle C_{6}}$

Beispiel

Die Folge der Kreisgraphen ${\displaystyle C_{n}}$ BS-konvergiert gegen den Cayley-Graphen der Gruppe der ganzen Zahlen, also den unendlichen linearen Graphen ${\displaystyle P_{\infty }}$.

Benjamini-Schramm-Konvergenz Riemannscher Mannigfaltigkeiten

Definition

Wir versehen die Menge ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ der punktierten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Sei ${\displaystyle M}$ eine (nicht-kompakte) Riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ eine Folge von Gittern in der Isometrie-Gruppe ${\displaystyle Isom(M)}$.

Man sagt, dass die Folge Riemannscher Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M_{n}=\Gamma _{n}/M}$ gegen ${\displaystyle M}$ im Sinne von Benjamini-Schramm konvergiert, wenn für alle ${\displaystyle R>0}$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel vom Radius ${\displaystyle R}$ um einen zufälligen Punkt in ${\displaystyle M_{n}}$ isometrisch zur entsprechenden Kugel vom Radius ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle M}$ ist, für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen ${\displaystyle 1}$ konvergiert.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass für jedes ${\displaystyle R>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {vol((M_{n})_{<R})}{vol(M_{n})}}=0}$

gilt, wobei ${\displaystyle (M_{n})_{<R}=\left\{x\in M_{n}\colon inj_{M_{n}}(x)<R\right\}}$ den ${\displaystyle R}$-dünnen Teil von ${\displaystyle M_{n}}$ beziehungsweise ${\displaystyle inj_{M_{n}}}$ den Injektivitätsradius bezeichnet.

Beispiel

Sei ${\displaystyle \Gamma \subset Isom(M)}$ ein kokompaktes Gitter und ${\displaystyle \Gamma _{n}\subset \Gamma }$ eine Folge normaler Untergruppen mit ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{n}\Gamma _{n}=\left\{0\right\}}$. Dann ist ${\displaystyle (M_{n})_{<R}=\emptyset }$ für hinreichend große ${\displaystyle n}$, also BS-konvergiert die Folge ${\displaystyle M_{n}=\Gamma _{n}/M}$ gegen ${\displaystyle M}$.

Benjamini-Schramm-Konvergenz metrischer Räume

Die folgende allgemeine Definition umfasst d​ie beiden vorhergehenden.[2]

Wir versehen die Menge ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ der punktierten, eigentlichen, kompakten metrischen Räume mit der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Sei ${\displaystyle X}$ ein eigentlicher, kompakter, metrischer Raum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$. Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ein ${\displaystyle \mu _{X}}$ genanntes Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, welches der Verteilung der ${\displaystyle x\in X}$ gemäß ${\displaystyle \mu }$ auf der Menge der punktierten Räume ${\displaystyle (X,x)\in {\mathcal {X}}}$ mit ${\displaystyle x\in X}$ entspricht. (Insbesondere hat ${\displaystyle \mu _{X}}$ seinen Träger auf der Menge der punktierten metrischen Räume, deren zugrundeliegender metrischer Raum ${\displaystyle X}$ ist.)

Sei ${\displaystyle X_{n}}$ eine Folge eigentlicher, kompakter, metrischer Räume mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu _{n}}$. Man sagt, dass die Folge ${\displaystyle X_{n}}$ Benjamini-Schramm-konvergiert, wenn die Folge ${\displaystyle \mu _{X_{n}}}$ in der Schwach-*-Topologie gegen ein Maß ${\displaystyle \mu _{\infty }}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ konvergiert.

Einzelnachweise

1. Benjamini, Schramm: Recurrence of distributional limits of finite planar graphs. Electron. J. Probab. 6 (2001), Nr. 23, Project Euclid
2. Abert, Bergeron, Biringer, Gelander, Nikolov, Raimbault, Samet: On the growth of L²-invariants for sequences of lattices in Lie groups. Ann. of Math. (2) 185 (2017), 711–790.