Träger (Maßtheorie)

Der Träger e​ines Maßes i​st ein Begriff a​us der Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, d​as sich m​it verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt. Ähnlich z​um Träger e​iner Funktion i​n der Analysis garantiert d​ie Kompaktheit d​es Trägers gewisse Eigenschaften w​ie beispielsweise d​ie Integrierbarkeit stetiger Funktionen.

Definition

Gegeben sei ein Hausdorff-Raum ${\displaystyle (X,\tau )}$ und ein Radon-Maß ${\displaystyle \mu }$ (im Sinne eines von innen regulären, lokal endlichen Maßes) auf ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\sigma (\tau )}$, der borelschen σ-Algebra.

Ist ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{i})_{i\in I}}$ die (möglicherweise überabzählbare) Familie der offenen ${\displaystyle \mu }$-Nullmengen, so ist

${\displaystyle O:=\bigcup _{i\in I}O_{i}}$

die bezüglich mengentheoretischer Inklusion größte offene ${\displaystyle \mu }$-Nullmenge. Ihr Komplement wird der Träger von ${\displaystyle \mu }$ genannt, also

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X\setminus O}$.

Alternativ findet sich auch die Notation ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mu )}$.

Bemerkung

Dass ${\displaystyle O}$ wirklich eine Nullmenge ist, sieht man wie folgt ein: Ist ${\displaystyle K\subset O}$ und kompakt, existiert per Definition der Kompaktheit eine endliche Überdeckung ${\displaystyle O_{i_{k}}}$ von ${\displaystyle K}$. Also ist aufgrund der Monotonie des Maßes ${\displaystyle \mu (K)\leq \sum _{k=1}^{n}\mu (O_{i_{k}})=0}$. Da aber ${\displaystyle \mu }$ von innen regulär ist, folgt ${\displaystyle \mu (O)=0}$.

Eigenschaften

• Ist der Träger eines Radon-Maßes kompakt, so sind alle stetigen Funktionen ${\displaystyle \mu }$-integrierbar, also ist ${\displaystyle C(X)\subset {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}$
• Umgekehrt ist auf einem σ-kompakten, lokalkompakten Hausdorff-Raum, bei dem ${\displaystyle C(X)\subset {\mathcal {L}}^{1}(\mu )}$ für ein Radon-Maß ${\displaystyle \mu }$ gilt, der Träger dieses Radon-Maßes immer kompakt.

Weblinks

• M.I. Voitsekhovskii: Support of a measure. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.