Injektivitätsradius

Der Injektivitätsradius i​st ein Begriff a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Differentialgeometrie, genauer e​ine Invariante riemannscher Mannigfaltigkeiten. Seine Bedeutung l​iegt darin, d​ass sich Punkte, d​eren Abstand geringer a​ls der Injektivitätsradius ist, s​tets durch e​ine eindeutige kürzeste Verbindung verbinden lassen.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Mit ${\displaystyle C(p)}$ werde der Schnittort von ${\displaystyle p\in M}$ bezeichnet. Dann wird der Injektivätsradius am Punkt ${\displaystyle p\in M}$ durch

${\displaystyle i(p):=d(p,C(p))}$

definiert, wobei ${\displaystyle d}$ den riemannschen Abstand auf ${\displaystyle M}$ bezeichnet.

Der Injektivätsradius ${\displaystyle i(M)}$ der riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist dann durch

${\displaystyle i(M):=\inf _{p\in M}i(p)=\inf _{p\in M}d(p,C(p)).}$

definiert. Der Name Injektivätsradius erklärt sich dadurch, dass die Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp _{p}}$ genau dann injektiv auf dem geodätischen Ball ${\displaystyle B_{r}(p)}$ ist, wenn ${\displaystyle r\leq i(p)}$ gilt.

Äquivalent kann man den Injektivätsradius am Punkt ${\displaystyle p}$ also auch definieren als das größte ${\displaystyle \epsilon }$, für das

${\displaystyle \exp _{p}\colon B(0,\epsilon )\to B(p,\epsilon )}$

ein Diffeomorphismus ist.[1] (Es genügt auch nur zu verlangen, dass ${\displaystyle exp_{p}}$ auf ${\displaystyle B(0,\epsilon )}$ definiert und injektiv ist.)

Beispiele

• Sei ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ die Einheitssphäre. Der Injektivitätsradius an jedem Punkt ${\displaystyle p\in S^{2}}$ ist ${\displaystyle \pi }$, denn die Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp _{p}\colon T_{p}S^{2}\to S^{2}}$ bildet die offene Kreisscheibe vom Radius ${\displaystyle \pi }$ diffeomorph auf das Komplement des zu ${\displaystyle p}$ antipodalen Punktes ab.
• Sei ${\displaystyle T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$ der flache Torus, den man aus einem Einheitsquadrat durch Identifikation gegenüberliegender Seiten erhält. Dann ist der Injektivitätsradius an jedem Punkt ${\displaystyle p\in T^{2}}$ gleich ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$, denn die Exponentialabbildung ist injektiv auf dem Inneren eines Quadrates mit Mittelpunkt ${\displaystyle 0\in T_{p}T^{2}}$ und Kantenlänge ${\displaystyle 1}$.

Abschätzungen des Injektivitätsradius

• Abschätzung bei ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{4}}}$-gepinchter positiver Krümmung (Klingenberg-Sakai[2]): Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine vollständige, einfach zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}<K\leq 1}$, dann ist ${\displaystyle i(M)\geq \pi }$.
• Verbesserungen im gerade-dimensionalen Fall: Falls ${\displaystyle (M,g)}$ eine gerade-dimensionale, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung ${\displaystyle K\leq 1}$ ist, dann gilt ${\displaystyle \textstyle i(M)\geq {\frac {\pi }{2}}}$ und falls ${\displaystyle M}$ zusätzlich orientierbar ist, sogar ${\displaystyle i(M)\geq \pi }$.

Beschränkte Geometrie

Riemannsche Mannigfaltigkeiten m​it positivem Injektivitätsradius u​nd beschränkter Schnittkrümmung werden a​ls Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie bezeichnet.

Auf vollständigen riemannschen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ hängt der Injektivitätsradius am Punkt ${\displaystyle p}$ stetig von ${\displaystyle p}$ ab. Insbesondere haben alle kompakten riemannschen Mannigfaltigkeiten beschränkte Geometrie.

Literatur

• Wilhelm Klingenberg: Riemannian geometry. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1995. ISBN 3-11-014593-6
• Jürgen Jost: Riemannian geometry and geometric analysis. Sixth edition. Universitext. Springer, Heidelberg, 2011. ISBN 978-3-642-21297-0

Einzelnachweise

1. Peter Petersen: Riemannian geometry. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 171. Springer, New York, 2006. ISBN 978-0387-29246-5 (Section 9.2)
2. Klingenberg, W.; Sakai, T.: Injectivity radius estimate for 1/4-pinched manifolds. Arch. Math. (Basel) 34 (1980), no. 4, 371–376.