Bairesche Klasse

Die baireschen Klassen stellen e​ine partielle Klassifizierung d​er reellen Funktionen dar.

Sie i​st zum ersten Mal v​on René Louis Baire i​n seiner Dissertation v​om Jahre 1898 aufgestellt worden u​nd als Antwort a​uf die z​um ersten Mal v​on Dini (1878) gestellten Frage gedacht worden, o​b jede Funktion e​ine analytische sprich d​urch Grenzübergang a​us elementaren Funktionen gewonnene Darstellung hat.[1] Inspiration für solche Untersuchungen i​st die v​on Karl Weierstraß i​n seinem Approximationssatz formulierte Erkenntnis gewesen, d​ass jede stetige Funktion Limes v​on Polynomenfolgen ist. Baire s​etzt diese Idee fort, i​n dem e​r die Klasse a​ller Funktionen definiert, d​ie Limes v​on stetigen Funktionenfolgen sind, u​nd nennt d​iese Funktionen Funktionen d​er ersten Klasse. Limites v​on Funktionenfolgen a​us der ersten Klasse bilden d​ie zweite bairesche Klasse, a​us der zweiten Klasse – d​ie dritte Klasse usw. Die Untersuchung d​er baireschen Klassen i​st später v​on Henri Léon Lebesgue, Émile Borel, Felix Hausdorff u​nd William Henry Young aufgegriffen worden. Die Hoffnung, d​ass man d​urch Klassifizierung a​ller reellen Funktionen u​nd aller Mengen v​on reellen Punkten d​ie Kontinuumshypothese beweisen könnte, i​st bei diesen Untersuchungen e​in wichtiger Motivationsfaktor gewesen.[2] Diese Hoffnung i​st durch d​en von Hausdorff u​nd Pawel Sergejewitsch Alexandrow i​m Jahre 1916 erbrachten Beweis d​er Kontinuumshypothese für borelsche Mengen,[3] d​ie mit d​en baireschen Klassen e​ng verbunden sind, n​och verstärkt worden. Heutzutage wissen w​ir allerdings, d​ass eine vollständige analytische Klassifizierung d​er reellen Funktionen u​nd Punktmengen genauso w​ie der Beweis d​er Kontinuumshypothese unlösbare Aufgaben sind.

Definition

Sei ${\displaystyle A={\underset {i=1}{\overset {n}{\mathbf {\times } }}}[a_{i},b_{i}]\subset \mathbb {R} ^{n}}$ für ein ${\displaystyle n\leq \aleph _{0}}$.

Die nullte bairesche Klasse ${\displaystyle H_{0}}$ auf ${\displaystyle A}$ wird als die Menge aller stetigen Abbildungen

${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$

definiert.

Für jede höchstens abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \kappa >0}$ ist die ${\displaystyle \kappa }$-te bairesche Klasse auf ${\displaystyle A}$ durch

${\displaystyle H_{\kappa }=\left\{f:\ f\notin C^{(<\kappa )}=\bigcup _{\alpha <\kappa }H_{\alpha };\ \exists (f_{n})_{n=1,2,...}\left(\forall n\left(f_{n}\in C^{(<\kappa )}\right)\land f=\lim _{n\to \infty }f_{n}\right)\right\}}$

definiert.[4]

Eine Funktion heißt bairesch, wenn sie Element einer baireschen Klasse ist. Sie heißt bairesch vom Typ ${\displaystyle \kappa }$, wenn sie Element von

${\displaystyle C^{(\kappa )}=C^{(<\kappa )}\cup H_{\kappa }}$

ist.

Klassifikation von Young

In der Klassifikation von Young wird rekursiv die Menge der Funktionen definiert, die Limes von fallenden Folgen sind – genannt Funktionen vom Typ ${\displaystyle g_{\xi }}$, sowie die Menge der Funktionen, die Limes von wachsenden Folgen sind – Funktionen vom Typ ${\displaystyle G_{\xi }}$.[5][6] Dabei dient in den beiden Fällen als Basis der Rekursion die Menge der stetigen Funktionen. Eine gute Möglichkeit, die youngschen Klassen zu definieren und den Zusammenhang zwischen den youngschen Klassen und den baireschen Klassen zu veranschaulichen, bietet die Notation von Hahn:[7]

• mit ${\displaystyle S_{1}}$ wird die Menge der Funktionen bezeichnet, die Limes einer fallenden Folge von Funktionen aus einer Funktionenmenge ${\displaystyle S}$ sind,

• ${\displaystyle S^{1}}$ – ist die Menge der Funktionen, die Limes einer wachsenden Folge von Funktionen aus ${\displaystyle S}$ sind,

• ${\displaystyle S^{*}}$ – ist die Menge der Funktionen, die Limes einer beliebigen Folge von Funktionen aus ${\displaystyle S}$ sind,

• ${\displaystyle S^{(0)}=S_{0}=S^{0}=S}$

• ${\displaystyle S^{(<\xi )}=\cup _{\alpha <\xi }S^{(\alpha )}}$

• ${\displaystyle S^{(\xi )}={\left(S^{(<\xi )}\right)}^{*}}$

• ${\displaystyle S^{<\xi }=\cup _{\alpha <\xi }S^{\alpha }}$

• ${\displaystyle S^{\xi }={\left(S^{<\xi }\cup S_{<\xi }\right)}^{1}}$

• ${\displaystyle S_{\xi }={\left(S^{<\xi }\cup S_{<\xi }\right)}_{1}}$

• ${\displaystyle S_{\xi }^{\xi }=S^{\xi }\cap S_{\xi }}$

Wenn ${\displaystyle C}$ die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet, dann entspricht die Bezeichnung ${\displaystyle C^{(\xi )}}$ die schon verwendete Bezeichnung für die Menge der baireschen Funktionen vom Typ ${\displaystyle \xi }$. Die Menge der youngschen Funktion vom Typ ${\displaystyle g_{\xi }}$ ist in dieser Notation ${\displaystyle C_{\xi }}$ und vom Typ ${\displaystyle G_{\xi }}$: ${\displaystyle C^{\xi }}$. Die youngschen Funktionen vom Typ ${\displaystyle g_{1}}$ sind die oberhalbstetigen und vom Typ ${\displaystyle G_{1}}$ – die unterhalbstetigen Funktionen.[8]

Es gelten folgende Regeln:[9]

• Falls ${\displaystyle \eta <\xi }$: ${\displaystyle C^{\eta }\subseteq C^{\xi },\ C^{\eta }\subseteq C_{\xi },\ C_{\eta }\subseteq C^{\xi },\ C_{\eta }\subseteq C_{\xi },\ C^{\eta }\cup C_{\eta }\subseteq C_{\xi }^{\xi },\ C_{\eta }^{\eta }\subseteq C_{\xi }^{\xi }}$ und ${\displaystyle C^{(\eta )}\subseteq C^{(\xi )}}$.
• Falls ${\displaystyle \xi }$ isoliert ist (hat also einen unmittelbaren Vorgänger ${\displaystyle \xi -1}$): ${\displaystyle C^{<\xi }=C^{\xi -1}\,}$ und ${\displaystyle C_{<\xi }=C_{\xi -1}\,}$.
• Für ${\displaystyle \xi >0}$: ${\displaystyle (C^{\xi })_{1}=C_{\xi +1}\,}$ und ${\displaystyle (C_{\xi })^{1}=C^{\xi +1}\,}$.
• Für ${\displaystyle \xi >1}$: ${\displaystyle (C_{<\xi })^{1}=C^{\xi }\,}$ und ${\displaystyle (C^{<\xi })_{1}=C_{\xi }\,}$.
• Falls ${\displaystyle \xi }$ keinen unmittelbaren Vorgänger hat (ist also eine Limeszahl): ${\displaystyle C_{<\xi }\cup C^{<\xi }=C^{<\xi }=C_{<\xi }\,}$.
• Für ${\displaystyle \xi >0}$: ${\displaystyle (C_{\xi }^{\xi })_{1}=C_{\xi }\,}$ und ${\displaystyle (C_{\xi }^{\xi })^{1}=C^{\xi }\,}$.
• Für ${\displaystyle \xi >0}$: ${\displaystyle (C_{\xi }^{\xi })^{*}=C_{\xi +1}^{\xi +1}\,}$.
• Falls ${\displaystyle \xi }$ eine Limeszahl ist: ${\displaystyle \cup _{\alpha <\xi }C_{\alpha }^{\alpha }=C_{<\xi }\cup C^{<\xi }\,}$
• ${\displaystyle \forall (f_{1}\in C_{\xi })\ \forall (f_{2}\in C^{\xi })\ \exists (f\in C_{\xi }^{\xi })\ ((f_{1}\leq f_{2})\Rightarrow (f_{1}\leq f\leq f_{2}))}$ (Einschiebungssatz),

Zusammenhang zwischen baireschen Funktionen u​nd youngschen Funktionen:

• ${\displaystyle C^{\xi }\cup C_{\xi }\subseteq C^{(\xi )}=C_{\xi +1}^{\xi +1}=C^{\xi +1}\cap C_{\xi +1}.\,}$.
• ${\displaystyle C^{\xi }=\left(C^{(<\xi )}\right)^{1}\,}$ und ${\displaystyle C_{\xi }=\left(C^{(<\xi )}\right)_{1}\,}$

Wegen ${\displaystyle C^{(0)}=C^{0}=C_{0}=C}$ bedeutet die letzte Regel, dass sich die Hierarchie der youngschen Funktionen auch mit Hilfe der Hierarchie der baireschen Funktionen definieren lässt.

Verbindung zu den borelschen Mengen

Die Untermengen der Menge ${\displaystyle A}$, die Borelmengen sind, lassen sich wie folgt klassifizieren:

• ${\displaystyle F}$ sei die Menge der abgeschlossenen und ${\displaystyle G}$ der offenen Untermengen von ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle M^{\{1\}}}$ für eine beliebige Mengen ${\displaystyle M}$ sei die Bezeichnung der Menge von Vereinigungen und ${\displaystyle M_{\{1\}}}$ der Menge von Durchschnitten von abzählbar vielen Elementen von ${\displaystyle M}$.
• ${\displaystyle (F\cup G)^{\{<\xi \}}=\bigcup \nolimits _{\eta <\xi }(F\cup G)^{\{\eta \}}}$
• ${\displaystyle (F\cup G)_{\{<\xi \}}=\bigcup \nolimits _{\eta <\xi }(F\cup G)_{\{\eta \}}}$
• ${\displaystyle (F\cup G)^{\{\xi \}}=\left((F\cup G)^{\{<\xi \}}\cup (F\cup G)_{\{<\xi \}}\right)^{\{1\}}}$
• ${\displaystyle (F\cup G)_{\{\xi \}}=\left((F\cup G)^{\{<\xi \}}\cup (F\cup G)_{\{<\xi \}}\right)_{\{1\}}}$
• ${\displaystyle B^{\{1\}}=G,\ B_{\{1\}}=F}$
• ${\displaystyle B^{\{1+\xi \}}=(F\cup G)^{\{\xi \}},\ B_{\{1+\xi \}}=(F\cup G)_{\{\xi \}}\,}$

Man nennt ${\displaystyle (F\cup G)_{\{\xi \}}}$ die multiplikative Klasse ${\displaystyle \xi }$. ${\displaystyle (F\cup G)^{\{\xi \}}}$ wird die additive Klasse ${\displaystyle \xi }$ genannt. Jede borelsche Menge gehört zu mindestens einer diesen Klassen (mit ${\displaystyle \xi <\Omega }$). Eine Funktion heißt B-messbar der Klasse ${\displaystyle \xi }$, wenn für jede abgeschlossene Menge ${\displaystyle U}$ das Urbild ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ Element der multiplikativen Klasse ${\displaystyle \xi }$ ist. Die B-messbaren Funktionen lassen sich auch durch Lebesgue-Mengen charakterisieren. Sei für jede beliebige Menge ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle (*,M)=\{f:\ \forall y[f\geq y]\in M\}}$
• ${\displaystyle (M,*)=\{f:\ \forall y[f\leq y]\in M\}}$
• ${\displaystyle (M,M)=(M,*)\cap (*,M)}$

wobei ${\displaystyle [f\;R\;y]=\{x:\ f(x)\;R\;y\}}$.

Es lässt sich zeigen, dass die Menge der B-messbaren Funktionen der Klasse ${\displaystyle \xi }$ die Menge ${\displaystyle ((F\cup G)_{\{\xi \}},(F\cup G)_{\{\xi \}})}$ ist.

Für jede endliche Ordinalzahl ${\displaystyle \xi }$ sind die baireschen Funktionen vom Typ ${\displaystyle \xi }$ die B-messbaren Funktionen der Klasse ${\displaystyle \xi }$. Für jede transfinite höchstens abzählbare Ordinalzahl sind die baireschen Funktionen vom Typ ${\displaystyle \xi }$ die B-messbaren Funktionen der Klasse ${\displaystyle \xi +1}$ (Satz von Lebesgue-Hausdorff).[10][11]

Dieser Satz lässt s​ich mit Hilfe d​er oben eingeführten Notation i​n einer s​ehr kompakten Form aufschreiben:

${\displaystyle C^{(\xi )}=(B_{\{\xi +1\}},B_{\{\xi +1\}})\,}$.

Er lautet für d​ie youngschen Funktionen

${\displaystyle C^{\xi }=(B_{\{\xi \}},*),\ C_{\xi }=(*,B_{\{\xi \}})\,}$.[12][7]

Eigenschaften

Die Menge der baireschen Funktionen vom Typ ${\displaystyle \xi }$ ist für jede höchstens abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \xi }$ bezüglich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und Division abgeschlossen:[13]

• ${\displaystyle \{f,g\}\subset C^{(\xi )}\Rightarrow \{f+g,fg\}\subset C^{(\xi )}}$
• ${\displaystyle \{f,g\}\subset C^{(\xi )}\land \forall x(|g(x)|>0)\Rightarrow {\frac {f}{g}}\in C^{(\xi )}}$

Es g​ilt außerdem:[13]

• ${\displaystyle \{f,g\}\subset C^{(\xi )}\Rightarrow \{|f|,\ \max(f,g),\ \min(f,g)\}\subset C^{(\xi )}.}$
• ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset C^{(\xi )}\Rightarrow {\underset {n\to \infty }{\mathrm {Lim} }}f_{n}\in C^{(\xi )}}$

Jede Funktion m​it höchstens abzählbar v​iele Unstetigkeitstellen s​owie jede charakteristische Funktion v​on einer beschränkten abgeschlossenen Menge i​st eine Funktion d​er höchstens ersten Klasse.[14] Beispiel für e​ine Funktion d​er zweiten Klasse i​st die Dirichlet-Funktion m​it ihrer analytischen Darstellung:

${\displaystyle D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}m!\pi x.}$

Das Konstruieren von Beispielen aus höheren baireschen Klassen ist nicht trivial.[15] Die Frage, ob die baireschen Klassen leer sind, ist 1905 von Lebesgue beantwortet worden. Ihm gelingt es zu zeigen, dass keine der baireschen Klassen leer ist[11] und dass die Menge der baireschen Funktionen und das Kontinuum gleichmächtig sind. Das letztere bedeutet, dass es Funktionen gibt, die in keiner der baireschen Klassen liegen. Man müsste, um ein explizites Beispiel für eine solche Funktion zeigen zu können, eine im borelschen Sinne nicht messbare Menge konstruieren. Nicht B-messbare Mengen sind die Vitali-Mengen. Sie sind auch Beispiel für nicht L-messbare Mengen. Allerdings wird bei ihrer Definition ${\displaystyle \mathrm {AC} }$ (das Auswahlaxiom) verwendet.

Die Menge der Unstetigkeitstellen jeder baireschen Funktion vom Typ ${\displaystyle 1}$ ist mager. Diese Aussage ist für eine beliebige bairesche Funktion im Allgemeinen nicht richtig. Gegenbeispiel ist die Dirichlet-Funktion. Für jede bairesche Funktion existiert aber eine Menge, deren Komplement mager ist und für die ${\displaystyle f}$ relativ zu dieser Menge stetig ist.

Universalfunktion

Wichtiges Instrument z​ur Untersuchung d​er borelschen Mengen u​nd der baireschen Funktionen stellen d​ie sogenannten Universalfunktionen dar.

Die Funktion

${\displaystyle F:A\times [0,1]\to \mathbb {R} }$

heißt Universalfunktion für d​ie Funktionenmenge

${\displaystyle C\subset \{f|f\colon A\to \mathbb {R} \}}$,

falls

${\displaystyle \forall f\in C\ \exists t\in [0,1]\ \forall x(F(x,t)=f(x)).}$

Die Funktion

${\displaystyle F\colon [0,1]\to M}$

heißt Universalfunktion relativ zu der Menge ${\displaystyle M}$, falls

${\displaystyle \forall X\in M\ \exists t\in [0,1](F(t)=X).}$

Zentrale Rolle bei dem Beweis, dass die baireschen Klassen ${\displaystyle H_{\xi }}$ und die multiplikativen Klassen ${\displaystyle \xi \,}$ für jede ${\displaystyle \xi <\Omega }$ nicht leer sind, spielt der Satz von Lebesgue über die Universalfunktion: Für jede positive höchstens abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \xi }$ existiert eine Universalfunktion

${\displaystyle F_{\xi }\colon A\times [0,1]\to \mathbb {R} }$

für die Menge ${\displaystyle C^{(<\xi )}}$, die bairesch ist.[16]

Der entsprechende Satz für borelsche Mengen lautet: Für jede höchstens abzählbare Ordinalzahl ${\displaystyle \xi }$ existiert Universalfunktion ${\displaystyle F_{\xi }}$ relativ zu der multiplikativen Klasse ${\displaystyle \xi }$, so dass

${\displaystyle \{(x,z):\ x\in F_{\xi }(z)\}\in (F\cup G)_{\{\xi \}}\subset {\mathcal {P}}(A\times [0,1]).}$

Die Klasse B⁺

Anwendung in der Integrationstheorie finden die Funktionen der so genannten baireschen Klasse ${\displaystyle B^{+}}$. Für jede Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n=1,2,...}}$ aus Elementen der Menge

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$

sei

${\displaystyle {\underset {n}{\textrm {Sup}}}\;a_{n}={\underset {n}{\textrm {sup}}}\;a_{n},\,}$

falls es eine solche Zahl ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$ gibt, so dass ${\displaystyle \forall n(a_{n}\leq a)}$. Sonst sei

${\displaystyle {\underset {n}{\textrm {Sup}}}\;a_{n}=+\infty .}$

Die Klasse ${\displaystyle B^{+}}$ wird wie folgt definiert

${\displaystyle B^{+}=\left\{f={\underset {n}{\textrm {Sup}}}\;f_{n}:\ \ \forall m(f_{m}\leq f_{m+1}\land f_{m}\in C_{c}(\mathbb {R} ^{n}))\right\},}$

wobei ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} ^{n})}$ die Menge der stetigen Funktionen ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ mit kompaktem Träger bezeichnet. Bei dem Daniell-Lebesgue-Prozess wird das Integral zuerst für stetige Funktionen mit kompaktem Träger definiert und dann auf die Funktionen der baireschen Klasse ${\displaystyle B^{+}}$ durch

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\operatorname {d} x={\underset {n}{\textrm {Sup}}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{n}(x)\operatorname {d} x\right)}$

ausgedehnt. Mit Hilfe des Satzes von Dini lässt sich zeigen, dass diese Definition korrekt (also von der Wahl der monoton wachsenden Funktionenfolge ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ nicht abhängig) ist.[17]

Verallgemeinerungen

Der Begriff bairesche Funktion lässt s​ich für Abbildungen

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

zwischen beliebigen metrischen Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ definieren. Allerdings sind nicht alle Eigenschaften der reellen baireschen Funktionen ohne weiteres auf die allgemeinen baireschen Funktionen übertragbar. Alle Abbildungen des metrischen Raumes der algebraischen Zahlen auf sich selbst gehören zum Beispiel zu der nullten oder zu der ersten baireschen Klasse. Wenn ${\displaystyle Y}$ die Menge der reellen Zahlen ist, dann ist die Vollständigkeit und das Vorhandensein eines nichtleeren insichdichten Kerns von ${\displaystyle X}$ ausreichend dafür, dass keine der baireschen Klassen ${\displaystyle \xi <\Omega }$ leer ist.[12] Jede reellwertige B-messbare Funktion ist eine bairesche Funktion. Falls ${\displaystyle Y}$ eine abzählbare Basis hat, dann ist jede B-messbare Funktion der Klasse ${\displaystyle 2<\xi <\Omega }$ Limes von B-messbaren Funktionen niedriger Klassen. Jede bairesche Funktion ist B-messbar.[18] Falls ${\displaystyle f}$ eine bairesche Funktion vom Typ ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle g}$ eine bairesche Funktion vom Typ ${\displaystyle \beta }$ ist, dann ist ihre Komposition eine bairesche Funktion vom Typ ${\displaystyle \alpha +\beta }$.[10]

Quellen und Bemerkungen

1. Israel Kleiner: Evolution of the Function Concept: A Brief Survey. In: The College Mathematics Journal. Bd. 20, Nr. 4, September 1989, ISSN 0746-8342, S. 282–300.
2. Diese Idee ist auf Cantor zurückzuführen. Er zeigt in seiner Arbeit Ueber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten. (Mathematische Annalen. Bd. 23, 1884, S. 453–488, Digitalisat), dass jede abgeschlossene Menge von reellen Punkten Vereinigung von einer perfekten und einer abzählbaren Menge ist, und äußert die Vermutung, dass sich dieses Schema auf solche Weise erweitern lässt, so dass alle Mengen von reellen Punkten durch einfache Mengen beschrieben werden können. Die Arbeiten von Cantor und Baire gelten als die ersten auf dem Gebiet der so genannten deskriptiven Mengenlehre (von lateinisch describere „beschreiben“).
3. Felix Hausdorff: Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. In: Mathematische Annalen. Bd. 77, Nr. 3, 1916, S. 430–437, Digitalisat.
4. Die Einschränkung auf die höchstens abzählbaren Ordinalzahlen ist nicht zwingend erforderlich. Sie ist damit begründet, dass alle ${\displaystyle \kappa }$-ten baireschen Klassen für überabzählbare ${\displaystyle \kappa }$-s leer sind, was man leicht durch transfinite Induktion zeigen kann (siehe: Péter Komjáth, Vilmos Totik: Problems and Theorems in Classical Set Theory. Springer, New York NY 2006, ISBN 0-387-30293-X.)
5. Л. В. Канторович: Об обобщенных производных непрерывных функций. In: Математический сборник. Bd. 39, Nr. 4, 1932, ISSN 0321-4540, S. 153–170, PDF (Memento vom 28. September 2007 im Internet Archive).
6. Friedrich Hartogs: Zur Darstellung und Erweiterung der Baireschen Funktionen. In: Mathematische Zeitschrift. Bd. 42, Nr. 1, Dezember 1937, Digitalisat bei digizeitschriften.de.
7. Hans Hahn: Reelle Funktionen (= Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern. Bd. 13, ZDB-ID 503786-4). Akademisches Verlagsgesellschaft mbH, Leipzig 1932.
8. An dieser Stelle sei noch einmal unterstrichen worden, dass es sich hier um im engeren Sinne reellwertige Funktion handelt. Falls man zulässt, dass die Limesfunktionen auch die Werte ±∞ annehmen, dann ist zwar jede youngsche Funktion halbstetig, nicht jede halbstetige Funktion ist aber Youngsch.
9. Alle diese Regeln findet man in: Hans Hahn: Reelle Funktionen (= Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern. Bd. 13, ZDB-ID 503786-4). Akademisches Verlagsgesellschaft mbH, Leipzig 1932, unter 35.1.1, 35.1.11, 35.1.21, 35.1.5, 34.2.1, 34.2.11 und 34.1.1.
10. Kazimierz Kuratowski: Topology. Band 1. New edition, revised and augmented. Academic Press u. a., New York u. a. 1966, § 31.
11. Henri Lebesgue: Sur les fonctions representables analytiquement. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Série 6, Bd. 1, 1905, ISSN 0021-7824, S. 139–216, Digitalisat bei Gallica.
12. Felix Hausdorff: Mengenlehre (= Göschens Lehrbücherei. Bd. 7, ZDB-ID 503797-9). 2., neubearbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1927, § 39.
13. Casper Goffman: Reelle Funktionen. Bibliographisches Institut-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1976, ISBN 3-411-01510-1.
14. Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Zürich u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk).
15. Beispiel für eine Funktion aus ${\displaystyle H_{3}}$ findet man in: Hans Hahn: Reelle Funktionen (= Mathematik und ihre Anwendungen in Monographien und Lehrbüchern. Bd. 13, ZDB-ID 503786-4). Akademisches Verlagsgesellschaft mbH, Leipzig 1932, unter § 37.4.
16. Man kann sogar zeigen, dass es für ${\displaystyle C^{(<\xi )}}$ eine bairesche Universalfunktion aus der ${\displaystyle \xi }$-ten baireschen Klasse gibt. Für die Menge der baireschen Funktionen vom Typ ${\displaystyle \xi }$ existiert keine bairesche Universalfunktion aus der ${\displaystyle \xi }$-te bairesche Klasse. Für die Menge der youngschen Funktionen vom Typ ${\displaystyle \xi }$ existiert eine youngsche Universalfunktion, die auch vom Typ ${\displaystyle \xi }$ ist. (siehe: Л. В. Канторович: Об универсальных функциях. In: урнал Ленинградского физико-математического общества. Bd. 2, H. 2, 1929, ZDB-ID 803408-4, S. 13–21, PDF (Memento vom 28. September 2007 im Internet Archive)).
17. Eberhard Freitag: Vorlesungen über Analysis. Skript, Teil II, pdf.
18. Sashi M. Srivastava: A course on Borels sets (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 180). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98412-7.