Satz von Dini

In d​er Mathematik besagt d​er (nach Ulisse Dini benannte) Satz v​on Dini, d​ass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen m​it stetiger Grenzfunktion a​uf Kompakta gleichmäßig konvergiert.

Aussage

Sind ein kompakter topologischer Raum,

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen m​it

für alle natürlichen Zahlen und alle und existiert eine stetige Grenzfunktion , das heißt

für alle , so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen , das heißt

Beweis

Für ein vorgegebenes setze

.

Da die Folge der punktweise gegen konvergiert, bilden die eine Überdeckung von , die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil kompakt ist, wird bereits von endlich vielen der überdeckt. Ist der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt für alle größeren Indizes . Also ist

für alle und ,

woraus d​ie Behauptung folgt.

Bemerkung

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel auf einfach sehen kann.

Literatur

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-43586-7.
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