Intensitätsmaß

Als Intensitätsmaß bezeichnet m​an in d​er Mathematik e​in Maß, d​as einem zufälligen Maß zugeordnet wird. Das Intensitätsmaß entspricht d​abei dem Erwartungswert d​es zufälligen Maßes u​nd gibt s​omit an, welches Volumen d​as zufällige Maß i​m Schnitt e​iner gewissen Menge zuordnet. Das Intensitätsmaß enthält s​omit wichtige Informationen über d​as zufällige Maß. So s​ind beispielsweise Poisson-Prozesse d​urch die Angabe i​hres Intensitätsmaßes bereits eindeutig bestimmt.

Definition

Gegeben sei ein zufälliges Maß ${\displaystyle X}$ auf dem Messraum ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$. Das bedeutet, dass ${\displaystyle X}$ fast sicher lokal endliche Maße auf ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$ als Werte annimmt.

Dann heißt das Maß ${\displaystyle \operatorname {EX} }$ auf ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$, das durch

${\displaystyle \operatorname {EX} \colon {\mathcal {A}}\to [0,+\infty ]}$,

${\displaystyle \operatorname {EX} \colon A\mapsto \operatorname {E} [X(A)]}$

gegeben ist, das Intensitätsmaß von ${\displaystyle X}$.[1] Hierbei ist zu unterscheiden zwischen der Bezeichnung des Intensitätsmaßes als ${\displaystyle \operatorname {EX} }$ und der Bildung des Erwartungswertes einer Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ durch ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$.

Beispiele

Bei einem Binomial-Prozess ${\displaystyle X}$ gegeben durch ${\displaystyle n}$ und eine Verteilung ${\displaystyle \nu }$ gilt per Konstruktion ${\displaystyle X(A)\sim \operatorname {Bin} _{n,\nu (A)}}$. Mit den elementaren Eigenschaften der Binomialverteilung folgt dann direkt

${\displaystyle \operatorname {EX} (A)=\operatorname {E} [X(A)]=n\nu (A)}$.

Also i​st das Intensitätsmaß e​ines Binomialprozesses gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {EX} =n\nu }$.

Eigenschaften

Das Intensitätsmaß ${\displaystyle \operatorname {EX} }$ ist stets s-finit und erfüllt

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)X(\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\operatorname {EX} (dx)}$

für jede positive messbare Funktion auf ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$.[2]

Literatur

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Einzelnachweise

1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
2. Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, S. 53, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.