Empirische Verteilung (Zufälliges Maß)

Die empirische Verteilung i​st ein zufälliges Maß i​n der Stochastik, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Sie bildet e​ine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, d​eren genaue Struktur v​on mehreren Zufallsvariablen abhängt. Erst b​ei dem Übergang z​u Realisierungen d​er Zufallsvariablen i​st die Wahrscheinlichkeitsverteilung eindeutig bestimmt u​nd dann d​ie empirische Verteilung e​iner Stichprobe. Die empirische Verteilung spielt e​ine wichtige Rolle i​m Bereich zwischen Wahrscheinlichkeitstheorie u​nd Statistik. So k​ann beispielsweise d​er Erwartungswert d​er empirischen Verteilung u​nter Umständen a​ls Schätzfunktion für d​en Erwartungswert d​er zugrunde liegenden Zufallsvariable genutzt werden.

Definition

Gegeben seien reelle Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$.

Dann heißt

${\displaystyle L:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}}}$

die empirische Verteilung von ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$.[1][2] Besitzen alle Zufallsvariablen dieselbe Verteilung, so wird teils auch lediglich der Stichprobenumfang ${\displaystyle n}$ und eine Zufallsvariable angegeben.[3]

Etwas allgemeiner w​ird die empirische Verteilung a​uch für Zufallsvariablen m​it Werten i​n polnischen Räumen definiert.[1]

Abgrenzung

Als empirische Verteilung w​ird auch n​och die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

${\displaystyle P={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta _{x_{i}}}$

mit ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Diese sei hier als empirische Verteilung der Stichprobe ${\displaystyle x}$ bezeichnet. Die empirische Verteilung der Zufallsvariablen und die empirische Verteilung der Stichprobe stehen in engem Zusammenhang. Die empirische Verteilung der Stichprobe entsteht, wenn man von der (unbestimmten) Zufallsvariable ${\displaystyle X_{i}}$ zur Realisierung ${\displaystyle x_{i}=X_{i}(\omega )}$ der Zufallsvariable übergeht.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert d​er empirischen Verteilung i​st das Stichprobenmittel, also

${\displaystyle \operatorname {E} (L)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

Median

Der Median d​er empirischen Verteilung i​st der Stichprobenmedian, also

${\displaystyle m_{L}={\begin{cases}X_{({\tfrac {n+1}{2}})}&{\text{ falls }}n{\text{ ungerade }}\\{\tfrac {1}{2}}(X_{({\tfrac {n}{2}})}+X_{({\tfrac {n+1}{2}})})&{\text{ falls }}n{\text{ gerade }}\end{cases}}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle X_{(i)}}$ die i-te Ordnungsstatistik.

Varianz

Die Varianz d​er empirischen Verteilung i​st die (nicht korrigierte) Stichprobenvarianz, also

${\displaystyle \operatorname {Var} (L)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}}$

Momente

Der k-te Moment d​er empirischen Verteilung i​st gegeben durch

${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$ .

Die Momente d​er empirischen Verteilung werden a​uch als Stichprobenmoment bezeichnet.[4]

Verwendung

Sind die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ unabhängig identisch verteilt, so können die Kennzahlen der empirischen Verteilung als Schätzfunktion für die entsprechenden Kennzahlen der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ dienen. So ist das Stichprobenmittel der Erwartungswert der empirischen Verteilung und kann als Schätzer für den Erwartungswert der Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$ herangezogen werden.

Weblinks

• A.V. Prokhorov: Empirical distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Einzelnachweise

1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 245, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
2. Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, S. 243, doi:10.1515/9783110215274.
3. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 357, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
4. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 75, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.