Zählmaß (Maßtheorie)

Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {P}}(\Omega ))}$ definieren, wobei ${\displaystyle \Omega }$ eine beliebige Menge und ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(\Omega )}$ ihre Potenzmenge ist. Ist ${\displaystyle \Omega }$ eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn ${\displaystyle \Omega }$ abzählbar ist.

Definition

Das Zählmaß einer Menge ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$ ist wie folgt definiert:

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{, falls }}A{\text{ endlich ist,}}\\+\infty &{\text{, falls }}A{\text{ unendlich ist.}}\end{cases}}}$

Beispiele

Integral der Funktion ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [-10,10]}$ bzgl. des Zählmaßes über ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum ${\displaystyle (\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}(\mathbb {N} ))}$, entspricht das Zählmaß der Abbildung

${\displaystyle \mu \colon {\mathfrak {P}}(\mathbb {N} )\to [0,\infty ]{\text{, }}A\mapsto \sum _{k\in \mathbb {N} }\chi _{A}(k).}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \chi _{A}}$ die charakteristische Funktion der Menge ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$.

Mit Hilfe des Zählmaßes auf ${\displaystyle \mathbb {N} }$ lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$ konvergiert absolut ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle f}$ ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(\mathbb {N} ).}$

In diesem Fall gilt

${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }f\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$.

Literatur

• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 31.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 29.