Stochastische Geometrie

Die Stochastische Geometrie beschäftigt s​ich mit d​er mathematischen Beschreibung u​nd Analyse v​on zufälligen geometrischen Strukturen, w​ie Punkten o​der Liniensegmenten o​der komplizierteren Mengen i​m Raum o​der der Ebene. Wichtige Grundlagen s​ind zufällige Mengen, insbesondere zufällige abgeschlossene Mengen, Punktprozesse u​nd zufällige Maße.

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Eine wichtige Anwendung l​iegt in d​er stereologischen Gewinnung v​on Aussagen über räumliche Strukturen d​urch die statistische Analyse v​on linearen u​nd ebenen Schnitten.

Verschiedene Modelle d​er statistischen Mechanik (insbesondere werden h​ier Gittermodelle i​n zwei Dimensionen betrachtet) w​ie die Perkolationstheorie ergeben ebenfalls zufällige geometrische Strukturen, d​ie mathematisch streng m​it der Methode d​er Schramm-Löwner-Evolution behandelt werden können.

Punktprozesse

→ Hauptartikel: Punktprozess

Zufällige abgeschlossene Menge

Boolesches Modell

Boolesche Modelle s​ind einfache Beispiele für zufällige geschlossene Mengen. Es handelt s​ich dabei u​m ein Keim-Korn-Modell.

Sei ${\displaystyle \varphi =\{\xi _{1},\xi _{2},\dots \}}$ ein homogener Poisson-Punktprozess auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit Intensität ${\displaystyle \lambda }$. Sei ${\displaystyle \Theta _{0}}$ eine zufällige kompakte Menge genannt typisches Korn, die unabhängig von ${\displaystyle \varphi }$ ist und es gelte für alle kompakten Mengen ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {E} (\nu _{d}\left(\Theta _{0}\oplus K\right))<\infty }$

wobei ${\displaystyle A\oplus B:=\{x+y:x\in A,\ y\in B\}}$ und ${\displaystyle \nu _{d}}$ das ${\displaystyle d}$-dimensionale Lebesguemaß bezeichnet.

Sei ${\displaystyle \Theta _{1},\Theta _{2},\dots }$ eine Folge von iid zufälligen kompakten Mengen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ genannt Körner, welche die gleiche Verteilung wie ${\displaystyle \Theta _{0}}$ haben und unabhängig von ${\displaystyle \Theta _{0}}$ und ${\displaystyle \varphi }$ sind. Das boolesche Modell ist definiert als

${\displaystyle \Theta =\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }(\Theta _{n}+\xi _{n})}$

wobei ${\displaystyle \{\xi _{1},\xi _{2},\dots \}}$ Keime genannt werden.[1]

Literatur

• Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications. 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8 (Wiley series in probability and statistics).
• O. E. Barndorff-Nielsen, W. S. Kendall und M. N. M. van Lieshout (Hrsg.): Stochastic Geometry. Likelihood and Computation. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 1998, ISBN 0-8493-0396-6 (Monographs on statistics and applied probability 80).

Einzelnachweis

1. Sung Nok Chiu, Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications. Hrsg.: John Wiley & Sons Ltd. ISBN 0-471-95099-8.