Wandernder Punkt

In d​er Theorie d​er dynamischen Systeme i​st ein nicht wandernder Punkt (auch: nichtwandernder Punkt) e​in Punkt, dessen Orbit wieder beliebig n​ahe an d​ie Ausgangsposition zurückkehrt u​nd auch d​ie Orbiten e​iner ganzen Umgebung d​es Punktes wieder beliebig n​ahe an diesen Punkt herankommen. (Insbesondere s​ind periodische Punkte nichtwandernd.) Entsprechend i​st ein wandernder Punkt e​in Punkt, für d​en eine g​anze Umgebung n​ie wieder i​n diese Umgebung zurückkehrt. Die Menge d​er wandernden bzw. n​icht wandernden Punkte w​ird als wandernde Menge bzw. nichtwandernde Menge bezeichnet.

Definition für diskrete dynamische Systeme

Es sei ${\displaystyle X}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine stetige Transformation.

Ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$ ist ein wandernder Punkt, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle x\in U}$ gibt, so dass

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\emptyset }$

für alle ${\displaystyle n>0}$.

Ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$ ist ein nichtwandernder Punkt, wenn es für jede Umgebung ${\displaystyle x\in U}$ ein ${\displaystyle n>0}$ mit

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U\not =\emptyset }$

gibt.

Definition für Flüsse

Es sein ${\displaystyle M}$ eine Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \phi \colon M\times \mathbb {R} \to M}$ ein Fluss.

Ein Punkt ${\displaystyle x\in M}$ ist ein wandernder Punkt, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ und ein ${\displaystyle T>0}$ gibt, so dass

${\displaystyle \phi _{t}(U)\cap U=\emptyset }$

für alle ${\displaystyle t\geq T}$.

Ein Punkt ${\displaystyle x\in M}$ ist ein nichtwandernder Punkt, wenn es für jede Umgebung ${\displaystyle x\in U}$ und für jedes ${\displaystyle T>0}$ ein ${\displaystyle t\geq T}$ mit

${\displaystyle \phi _{t}(U)\cap U\not =\emptyset }$

gibt.

Eigenschaften

Die Menge ${\displaystyle \Omega (f)}$ der nichtwandernden Punkt ist abgeschlossen, invariant und enthält alle ${\displaystyle \omega }$-Limesmengen. Sie enthält alle rekurrenten Punkte, es muss aber nicht jeder nichtwandernde Punkt auch rekurrent sein.

Wenn ${\displaystyle M}$ kompakt ist, dann ist ${\displaystyle \Omega (f)\not =\emptyset }$.

Literatur

• Manfred Denker: Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-20713-9.

Weblinks

• Nonwandering (MathWorld)