Invariante Menge

In d​er Theorie d​er dynamischen Systeme bezeichnet m​an als invariante Menge e​ine Teilmenge d​es Phasenraums, d​ie durch d​en Phasenfluss z​u jeder Zeit i​n sich abgebildet wird.

Invariante Punkte e​ines dynamischen Systems werden a​ls Gleichgewichtspunkte bezeichnet.

Die Stabilitätstheorie befasst s​ich mit d​er Stabilität invarianter Mengen, i​m einfachsten Fall m​it der Stabilität v​on Gleichgewichten.

Definitionen

Im Folgenden sei ${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} \times X\to X}$ ein dynamisches System. Die Definitionen lassen sich analog auf dynamische Systeme ${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {Z} \times X\to X}$ übertragen.

Eine Teilmenge ${\displaystyle A\subset X}$ heißt

• vorwärtsinvariant (oder positiv invariant), falls ${\displaystyle \Phi (t,A)\subset A}$ für alle ${\displaystyle t>0}$
• rückwärtsinvariant (oder negativ invariant), falls ${\displaystyle \Phi (t,A)\subset A}$ für alle ${\displaystyle t<0}$
• invariant (oder total invariant), falls vorwärts- und rückwärtsinvariant
• strikt vorwärtsinvariant, falls ${\displaystyle \Phi (t,A)=A}$ für alle ${\displaystyle t>0}$
• strikt rückwärtsinvariant, falls ${\displaystyle \Phi (t,A)=A}$ für alle ${\displaystyle t<0}$.

Eigenschaften

• Vereinigungen und Durchschnitte (vorwärts-, rückwärts- oder total) invarianter Menge sind (vorwärts-, rückwärts- oder total) invariant.
• Der Abschluss einer (vorwärts-, rückwärts- oder total) invarianten Menge ist (vorwärts-, rückwärts- oder total) invariant.
• Wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ total invariant sind, dann ist die Mengendifferenz ${\displaystyle A\setminus B}$ total invariant.

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics Bd. 140, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 online bei univie.ac.at

Weblinks

• Invariant set (Encyclopedia of Mathematics)