Vollinvariante Untergruppe

Vollinvariante Untergruppen s​ind im mathematischen Teilgebiet d​er Gruppentheorie betrachtete Untergruppen m​it einer Zusatzeigenschaft. Diese Zusatzeigenschaft besagt, d​ass die Untergruppe u​nter jedem Endomorphismus d​er Gruppe invariant ist.

Definition

Es sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe. Eine Untergruppe ${\displaystyle U\subset G}$ heißt vollinvariant, falls

${\displaystyle \varphi (U)\subset U}$   für alle Endomorphismen ${\displaystyle \varphi }$ der Gruppe ${\displaystyle G}$.[1][2]

Beispiele

• Offenbar sind die triviale Untergruppe ${\displaystyle \{1\}}$ und die Gruppe selbst stets vollinvariante Untergruppen. Sind dies die einzigen vollinvarianten Untergruppen, so nennt man die Gruppe vollinvariant-einfach.[3]
• Da homomorphe Bilder von Kommutatoren wieder Kommutatoren sind, ergeben die mit ihnen gebildeten Untergruppen bei der Definition auflösbarer oder nilpotenter Gruppen vollinvariante Gruppen:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$ und ${\displaystyle G^{(n)}:=\left[G^{(n-1)},G^{(n-1)}\right]}$ für ${\displaystyle n>0}$, die sogenannte Reihe der abgeleiteten Untergruppen, sie besteht aus vollinvarianten Untergruppen.

${\displaystyle \gamma _{1}G:=G}$ und ${\displaystyle \gamma _{n}G:=\left[G^{(n-1)},G\right]}$ für ${\displaystyle n>0}$, die sogenannte absteigende Zentralreihe, sie besteht aus vollinvarianten Untergruppen.[4]

• Bezeichnet ${\displaystyle G^{n}}$ die von allen ${\displaystyle n}$-ten Potenzen erzeugte Untergruppe, so sind die ${\displaystyle G^{n}}$ ebenfalls vollinvariant.
• Hat eine Gruppe zu einer Primzahl ${\displaystyle p}$ genau eine ${\displaystyle p}$-Sylowgruppe, so ist diese vollinvariant.[5] In abelschen Gruppen ist das stets der Fall.
• Zentren von Gruppen sind im Allgemeinen nicht vollinvariant. So ist zum Beispiel das Zentrum von A₄${\displaystyle \times }$ℤ₂ nicht vollinvariant.[6]

Bemerkungen

Für Untergruppen e​iner Gruppe bestehen offenbar folgende Implikationen:[7]

vollinvariant   ${\displaystyle \Rightarrow }$   charakteristisch   ${\displaystyle \Rightarrow }$   Normalteiler   ${\displaystyle \Rightarrow }$   Untergruppe

Die Umkehrungen gelten nicht. Beispielsweise s​ind Zentren v​on Gruppen s​tets charakteristisch, a​ber im Allgemeinen n​icht vollinvariant, w​ie obigen Beispielen z​u entnehmen ist.

Häufig betrachtet man in der Gruppentheorie Gruppen mit Operatorenbereich. Dabei handelt es sich um eine Menge ${\displaystyle \Omega }$, so dass zu jedem ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ein Endomorphismus ${\displaystyle \varphi _{\omega }}$ der Gruppe definiert ist. Beispielsweise kann man ${\displaystyle R}$-Moduln als abelsche Gruppen betrachten, so dass zu jedem Ringelement ${\displaystyle r\in R}$ der Endomorphismus ${\displaystyle \varphi _{r}}$ der Skalarmultiplikation mit ${\displaystyle r}$ erklärt ist, in diesem Fall ist ${\displaystyle \Omega =R}$. Oder man kann jede Gruppe ${\displaystyle G}$ mit dem Operatorenbereich ${\displaystyle \Omega =G}$ ausstatten, wobei ${\displaystyle \varphi _{g}}$ für ein ${\displaystyle g\in G}$ die Konjugation mit ${\displaystyle g\in G}$ sei. Dann interessiert man sich für sogenannte ${\displaystyle \Omega }$-Unterstrukturen, die diese Operatoren respektieren, das heißt unter den Endomorphismen des Operatorenbereichs invariant bleiben. Auch in diesem Kontext gelten etwa die Isomorphiesätze oder der Satz von Jordan-Hölder. Es ist klar, dass vollinvariante Untergruppen stets ${\displaystyle \Omega }$-Unterstrukturen sind.

Die vollinvarianten Untergruppen einer Gruppe bilden einen abgeschlossenen Verband. Vollinvarianz ist zudem transitiv, das heißt, ist ${\displaystyle U\subset G}$ eine vollinvariante Untergruppe von ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle V\subset U}$ vollinvariante Untergruppe in ${\displaystyle U}$, so ist ${\displaystyle V}$ auch vollinvariant in ${\displaystyle G}$.[8]

Einzelnachweise

1. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), Kapitel 1.3.4: Chakateristische und vollinvarinate Untergruppen, Definition 7.
2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 1.5: Characteristic and Fully-Invariant Subgroups.
3. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), Kapitel 1.3.4. nach Definition 7.
4. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Kapitel 5.1: The Lower and Upper Central Series.
5. Thomas W. Hungerford: Algebra. Springer Verlag (2003), ISBN 978-0-387-90518-1, Lemma 7.13 (ii)
6. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups. Springer-Verlag 1996, ISBN 978-1-4612-6443-9, Aufgabe 1.5.9.
7. Thomas W. Hungerford: Algebra. Springer Verlag (2003), ISBN 978-0-387-90518-1, Seite 103.
8. Wilhelm Specht: Gruppentheorie. Springer-Verlag (1956), Kapitel 1.3.4: Satz 27 und 27*