Charakteristische Untergruppe

In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe ${\displaystyle G}$ eine Untergruppe ${\displaystyle H}$, die unter jedem Automorphismus von ${\displaystyle G}$ in sich abgebildet wird.

Definition

Eine Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G}$ heißt charakteristisch, wenn für jeden Automorphismus, das heißt bijektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f\colon G\rightarrow G}$, stets ${\displaystyle f(H)\subset H}$ gilt.[1]

Eigenschaften

Jede charakteristische Untergruppe i​st Normalteiler, d​enn sie bleibt insbesondere u​nter jedem inneren Automorphismus erhalten. Umgekehrt i​st aber n​icht jeder Normalteiler charakteristisch. Betrachte z. B. d​ie Kleinsche Vierergruppe. Jede i​hrer Untergruppen i​st normal, a​ber es g​ibt einen Automorphismus, d​er die 2-elementigen Untergruppen permutiert, a​lso ist k​eine der 2-elementigen Untergruppen charakteristisch.

Die Gruppe selbst u​nd die triviale Untergruppe, d​ie nur a​us dem neutralen Element besteht, s​ind stets charakteristisch. Gibt e​s keine weiteren charakteristischen Untergruppen, s​o nennt m​an die Gruppe charakteristisch einfach, d​ie Kleinsche Vierergruppe i​st nach d​em gerade Gesagten e​in Beispiel.

Ist ${\displaystyle H}$ ein Normalteiler der endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$, und hat ${\displaystyle G}$ keine weitere Untergruppe derselben Ordnung, dann ist ${\displaystyle H}$ charakteristisch, da Automorphismen Untergruppen nur auf ordnungsgleiche Untergruppen abbilden.

Streng charakteristische Untergruppe

Ein verwandtes Konzept ist das einer streng charakteristischen Untergruppe (engl. distinguished subgroup). Eine solche Untergruppe ${\displaystyle H}$ bleibt fest unter jedem Epimorphismus (surjektiven Homomorphismus) von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle G}$. Beachte, dass für eine unendliche Gruppe nicht jeder Epimorphismus ein Automorphismus sein muss. Für endliche Gruppen fallen die Begriffe charakteristische Untergruppe und streng charakteristische Untergruppe allerdings zusammen.

Voll charakteristische Untergruppe

→ Hauptartikel: Vollinvariante Untergruppe

Eine noch stärkere Forderung ist die einer voll charakteristischen oder vollinvarianten Untergruppe (engl. fully characteristic subgroup oder fully invariant subgroup). Eine solche Untergruppe ${\displaystyle H}$ wird unter jedem Endomorphismus (Homomorphismus von ${\displaystyle G}$ nach ${\displaystyle G}$) in sich abgebildet, d. h. wenn ${\displaystyle f\colon G\rightarrow G}$ ein Homomorphismus ist, dann ist ${\displaystyle f(H)\subset H}$.

Beispiele

Jede voll charakteristische Untergruppe ist also streng charakteristisch, jedoch nicht umgekehrt. Das Zentrum einer Gruppe ist stets streng charakteristisch, aber z. B. nicht voll charakteristisch für die Gruppe ${\displaystyle D_{6}\times C_{2}}$ (das direkte Produkt der Diedergruppe der Ordnung 6 mit der zyklischen Gruppe der Ordnung 2).

Die Kommutatorgruppe e​iner Gruppe i​st stets v​oll charakteristisch i​n ihr, ebenso w​ie die Torsionsuntergruppe e​iner abelschen Gruppe.

Die Eigenschaft, charakteristisch oder voll charakteristisch zu sein, ist transitiv, d. h. ist ${\displaystyle H}$ eine (voll) charakteristische Untergruppe von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle K}$ eine (voll) charakteristische Untergruppe von ${\displaystyle G}$, dann ist auch ${\displaystyle H}$ eine (voll) charakteristische Untergruppe von ${\displaystyle G}$.

Einzelnachweise

1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Seite 28: Characteristic and Fully-Invariant Subgroups