Symmetrische Funktion

Eine symmetrische Funktion i​st in d​er Mathematik e​ine Funktion mehrerer Variablen, b​ei der d​ie Variablen untereinander vertauscht werden können, o​hne den Funktionswert z​u verändern. Wichtige Spezialfälle symmetrischer Funktionen s​ind symmetrische Multilinearformen u​nd symmetrische Polynome. In d​er Quantenmechanik s​ind Bosonen g​enau diejenigen Teilchen, d​eren Wellenfunktion symmetrisch bezüglich d​es Austauschs d​er Teilchenpositionen ist. Das Gegenstück z​u den symmetrischen Funktionen s​ind antisymmetrische Funktionen.

Definitionen

Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei Mengen, dann heißt eine multivariate Funktion ${\displaystyle f\colon X^{n}\to Y}$ symmetrisch, wenn für alle Permutationen ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ und alle Elemente ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}\in X}$

${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n})=f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})}$

gilt. In der Praxis werden als Mengen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ meist Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen verwendet.

Diese Definition kann folgendermaßen auf Funktionen mit abzählbar vielen Argumenten verallgemeinert werden. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon X^{\mathbb {N} }\to Y}$ heißt ${\displaystyle n}$-symmetrisch, wenn für alle Permutationen ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ und alle Elemente ${\displaystyle x_{i}\in X}$

${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n},x_{n+1},\dots )=f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)},x_{n+1},\dots )}$

gilt. Eine ${\displaystyle n}$-symmetrische Funktion ist also symmetrisch in den ersten ${\displaystyle n}$ Argumenten. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon X^{\mathbb {N} }\to Y}$ heißt dann symmetrisch, wenn sie ${\displaystyle n}$-symmetrisch für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist.

Beispiele

Konkrete Beispiele

Die Summe u​nd das Produkt

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}}$   bzw.   ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}}$

sind symmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ verändert sich das Ergebnis nicht. Eine symmetrische Funktion dreier Variablen ist beispielsweise die Diskriminante

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}}$,

Ein Beispiel für e​ine symmetrische Funktion, d​ie keine Polynomfunktion ist, ist

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=\max\{|x_{1}-x_{2}|,|x_{1}-x_{3}|,|x_{2}-x_{3}|\}}$.

Allgemeinere Beispiele

• jede konstante Funktion ist symmetrisch
• eine kommutative zweistellige Verknüpfung ist eine symmetrische Funktion der beiden Operanden
• der Mittelwert einer Menge gegebener Werte ist eine symmetrische Funktion dieser Werte
• eine symmetrische multilineare Abbildung ist eine symmetrische Funktion, die linear in jedem Argument ist
• ein symmetrisches Polynom ist eine symmetrische Polynomfunktion

Weitere Kriterien

Für den Nachweis der Symmetrie einer Funktion müssen nicht alle ${\displaystyle n!}$ möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ überprüft werden.

Vertauschungen zweier Variablen

Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form ${\displaystyle (i~j)}$ schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$ nicht verändert, also

${\displaystyle f(\dotsc ,x_{i},\dotsc ,x_{j},\dotsc )=f(\dotsc ,x_{j},\dotsc ,x_{i},\dotsc )}$

für ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ mit ${\displaystyle i<j}$ ist.

Vertauschungen benachbarter Variablen

Da sich jede Transposition auch als Hintereinanderausführung von Nachbarvertauschungen der Form ${\displaystyle (i~i+1)}$ schreiben lässt, reicht es sogar aus, nur aufeinanderfolgende Variablen ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{i+1}}$ zu betrachten. Es muss also für das Vorhandensein von Symmetrie lediglich

${\displaystyle f(\dotsc ,x_{i},x_{i+1},\dotsc )=f(\dotsc ,x_{i+1},x_{i},\dotsc )}$

für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$ gelten.

Vertauschungen mit einer festen Variablen

Alternativ kann man auch die Transpositionen der Form ${\displaystyle (1~i)}$ betrachten; eine Funktion ist damit genau dann symmetrisch, wenn die erste mit der ${\displaystyle i}$-ten Variablen vertauscht werden kann, ohne dass sich der Funktionswert ändert. Zum Nachweis der Symmetrie reicht es also aus, wenn

${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{i},\dotsc )=f(x_{i},\dotsc ,x_{1},\dotsc )}$

für ${\displaystyle i=2,\ldots ,n}$ gilt. Statt der ersten Variablen kann man auch eine beliebige Variable auswählen und diese mit allen anderen Variablen vertauschen.

Minimalkriterium

Ein minimales Erzeugendensystem der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ stellen die beiden Permutationen ${\displaystyle (1~2~\ldots ~n)}$ und ${\displaystyle (1~2)}$ dar. Deswegen ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn die beiden Bedingungen

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(x_{2},\ldots ,x_{n},x_{1})}$

und

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})}$

erfüllt sind. Das Paar ${\displaystyle (1~2~\ldots ~n)}$ und ${\displaystyle (1~2)}$ kann dabei auch durch einen beliebigen Zyklus der Länge ${\displaystyle n}$ sowie irgendeine Transposition aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus ersetzt werden.

Eigenschaften

Die symmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von ${\displaystyle X^{n}}$ nach ${\displaystyle Y}$ (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

• ein skalares Vielfaches einer symmetrischen Funktion ist wieder eine symmetrische Funktion und
• die Summe zweier symmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder symmetrisch,

wobei d​ie Nullfunktion trivialerweise symmetrisch ist.

Symmetrisierung

Durch Symmetrisierung, d​as heißt d​urch Summation über a​lle möglichen Permutationen

${\displaystyle Sf(x_{1},\dotsc ,x_{n})={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})}$,

lässt sich jeder nichtsymmetrischen Funktion ${\displaystyle f}$ eine zugehörige symmetrische Funktion ${\displaystyle Sf}$ zuordnen. Der Symmetrisierungsoperator ${\displaystyle S}$ führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der symmetrischen Funktionen durch.

Siehe auch

• Lagrange-Resolvente
• Symmetrische Algebra

Literatur

• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. Springer, 2008, ISBN 3-8274-2018-0.

Weblinks

• V.M. Khrapchenko: Symmetric function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Symmetric Function. In: MathWorld (englisch).