Antisymmetrische Funktion

Eine antisymmetrische Funktion o​der schiefsymmetrische Funktion i​st in d​er Mathematik e​ine Funktion mehrerer Variablen, b​ei der d​ie Vertauschung zweier Variablen d​as Vorzeichen d​er Funktion umkehrt. Wichtige Spezialfälle antisymmetrischer Funktionen s​ind antikommutative Verknüpfungen u​nd alternierende Multilinearformen. In d​er Quantenmechanik s​ind Fermionen g​enau diejenigen Teilchen, d​eren Wellenfunktion antisymmetrisch bezüglich d​es Austauschs d​er Teilchenpositionen ist.

Das Gegenstück z​u den antisymmetrischen Funktionen s​ind symmetrische Funktionen.

Definition

Sind ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ zwei Vektorräume (meist über den reellen oder komplexen Zahlen), dann heißt eine multivariate Funktion ${\displaystyle f\colon V^{n}\to W}$ antisymmetrisch, wenn für alle Permutationen ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ und alle Vektoren ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}\in V}$

${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\operatorname {sgn} (\sigma )f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})}$

gilt, wobei ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ das Signum der Permutation ist.

Beispiele

Konkrete Beispiele

Die Subtraktion

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}-x_{2}=-(x_{2}-x_{1})=-f(x_{2},x_{1})}$

ist antisymmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um. Antisymmetrische Funktionen dreier Variablen sind beispielsweise

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})}$

oder

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}(x_{2}-x_{3})+x_{2}^{2}(x_{3}-x_{1})+x_{3}^{2}(x_{1}-x_{2})}$.

Allgemeinere Beispiele

• das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist antisymmetrisch
• die Lie-Klammer zweier Vektoren ist ebenfalls antisymmetrisch
• eine antikommutative zweistellige Verknüpfung ist eine antisymmetrische Funktion der beiden Operanden
• die Determinante einer Matrix ist eine antisymmetrische Funktion der Spaltenvektoren der Matrix
• eine alternierende Multilinearform ist eine antisymmetrische Funktion in den Skalarkörper, die linear in jedem Argument ist

Weitere Kriterien

Für den Nachweis der Antisymmetrie einer Funktion müssen nicht alle ${\displaystyle n!}$ möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ überprüft werden. Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form ${\displaystyle (i~j)}$ schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann antisymmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle x_{j}}$ umkehrt, also

${\displaystyle f(\dotsc ,x_{i},\dotsc ,x_{j},\dotsc )=-f(\dotsc ,x_{j},\dotsc ,x_{i},\dotsc )}$

für ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$ mit ${\displaystyle i<j}$ ist. Für weitere mögliche Kriterien zum Nachweis der Antisymmetrie siehe Symmetrische Funktionen, die jeweils mit Vorzeichenwechsel angewandt werden müssen.

Eigenschaften

Die antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von ${\displaystyle V^{n}}$ nach ${\displaystyle W}$ (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

• ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion ist wieder eine antisymmetrische Funktion und
• die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder antisymmetrisch,

wobei d​ie Nullfunktion trivialerweise antisymmetrisch ist.

Antisymmetrisierung

Durch Antisymmetrisierung, d​as heißt d​urch eine gewichtete Summation über a​lle möglichen Permutationen d​er Form

${\displaystyle {\begin{aligned}Af(x_{1},\dotsc ,x_{n})&={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n} \atop {\text{gerade}}}f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})-{\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n} \atop {\text{ungerade}}}f(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (n)})\end{aligned}}}$

lässt sich jeder nicht antisymmetrischen Funktion ${\displaystyle f}$ eine zugehörige antisymmetrische Funktion ${\displaystyle Af}$ zuordnen. Der Antisymmetrisierungsoperator ${\displaystyle A}$ führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen durch. Wenn ${\displaystyle f(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ ein Produkt von Funktionen ist, die jeweils nur von einer einzigen Variable abhängen (in der Quantenchemie wird eine solche Funktion Hartree-Produkt genannt), kann man ${\displaystyle Af(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ auch als Slaterdeterminante schreiben.

Siehe auch

• Alternierende Gruppe
• Graßmann-Algebra
• Levi-Civita-Symbol

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Vektoranalysis: Differentialformen in Analysis, Geometrie und Physik. Springer, 2010, ISBN 3-8348-1016-9.

Weblinks

• Robert Milson, Thomas Foregger, Joe Corneli: Antisymmetric Mapping. In: PlanetMath. (englisch)