Symmetrisches Polynom

In d​er Mathematik heißt e​in Polynom i​n mehreren Unbestimmten symmetrisch, w​enn man d​ie Unbestimmten untereinander vertauschen kann, o​hne das Polynom z​u verändern.

Formale Definition

Es seien ${\displaystyle n>1}$ eine natürliche Zahl, ${\displaystyle A}$ ein Ring. Dann heißt ein Polynom ${\displaystyle p\in A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ symmetrisch in ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, wenn

${\displaystyle p(X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (n)})=p(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ für alle Permutationen ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

gilt.

Äquivalente Beschreibungen sind:

• Für alle ${\displaystyle k\neq m}$ ist

${\displaystyle p(X_{1},\ldots ,X_{k-1},X_{k},X_{k+1}\ldots ,X_{m-1},X_{m},X_{m+1},\ldots ,X_{n})=p(X_{1},\ldots ,X_{k-1},X_{m},X_{k+1},\ldots ,X_{m-1},X_{k},X_{m+1},\ldots ,X_{n}),}$

das heißt, man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.

• Es sei

${\displaystyle p=\sum _{e_{1}\geq 0,\ldots ,e_{n}\geq 0}a_{e_{1},\ldots ,e_{n}}X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}.}$

Dann ist ${\displaystyle p}$ genau dann symmetrisch, wenn

${\displaystyle a_{e_{1},\ldots ,e_{n}}=a_{e_{\sigma (1)},\ldots ,e_{\sigma (n)}}}$ für alle ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der Koeffizient eines Monoms von ${\displaystyle p}$ nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.

• Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ operiert durch

${\displaystyle (\sigma p)(X_{1},\ldots ,X_{n})=p(X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (n)})}$

auf dem Polynomring ${\displaystyle A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$. Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn

${\displaystyle \sigma p=p}$ für alle ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb

${\displaystyle A[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{S_{n}}.}$

Körper der symmetrischen Funktionen

Wir ersetzen nun den Grundring ${\displaystyle A}$ durch einen Grundkörper ${\displaystyle K}$. Der Körper der symmetrischen Funktionen ${\displaystyle L}$ ist analog zu obiger Definition der Fixkörper unter ${\displaystyle S_{n}}$, also: ${\displaystyle L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})^{S_{n}}}$.
Die Körpererweiterung ${\displaystyle K(X_{1},\ldots ,X_{n})/L}$ ist galoissch mit Galoisgruppe ${\displaystyle S_{n}}$ und hat damit Grad ${\displaystyle n!}$

Beispiele

• Das Polynom ${\displaystyle X+Y}$ ist symmetrisch in ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, jedoch nicht symmetrisch in ${\displaystyle X,Y,Z}$.
• Aus jedem beliebigen Polynom ${\displaystyle P}$ in den Variablen ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ lässt sich ein symmetrisches Polynom bilden, indem man die Bilder unter den Permutationen addiert, also:

${\displaystyle \sum \limits _{\sigma \in S_{n}}\sigma (P)}$

Elementarsymmetrische Polynome

Eine besonders wichtige Sorte symmetrischer Polynome sind die sog. elementarsymmetrischen Polynome. Sie sind Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) ${\displaystyle n}$ von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad ${\displaystyle k\leq n}$ gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom ${\displaystyle \sigma _{n,k}}$.

→ Hauptartikel: Elementarsymmetrisches Polynom

Beispiele

• Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ sind

${\displaystyle \sigma _{2,1}=X+Y\qquad }$ sowie ${\displaystyle \sigma _{2,2}=X\cdot Y}$

• In drei Variablen ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ hat man die drei elementarsymmetrischen Polynome

${\displaystyle \sigma _{3,1}=X+Y+Z\qquad \sigma _{3,2}=X\cdot Y+X\cdot Z+Y\cdot Z\qquad \sigma _{3,3}=X\cdot Y\cdot Z}$

Potenzsummen

Mit d​en Potenzsummen

${\displaystyle s_{n,m}(X_{1},\ldots ,X_{n}):=X_{1}^{m}+\ldots +X_{n}^{m}}$, ${\displaystyle m=0,1,2,\ldots }$

für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ hat man eine weitere Sorte symmetrischer Polynome. Sie sind über die Newton-Identitäten mit den elementarsymmetrischen Polynomen ${\displaystyle \sigma _{n,k}}$ verbunden. Für ${\displaystyle m=1,2,3}$ hat man beispielsweise:

• ${\displaystyle s_{n,1}=X_{1}+\dotsb +X_{n}=\sigma _{n,1}}$
• ${\displaystyle s_{n,2}=X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}=\sigma _{n,1}^{2}-2\sigma _{n,2}}$
• ${\displaystyle s_{n,3}=X_{1}^{3}+\dotsb +X_{n}^{3}=\sigma _{n,1}^{3}-3\sigma _{n,1}\sigma _{n,2}+3\sigma _{n,3}}$

Und umgekehrt:

• ${\displaystyle \sigma _{n,1}=s_{n,1}}$
• ${\displaystyle 2\sigma _{n,2}=s_{n,1}^{2}-s_{n,2}}$
• ${\displaystyle 6\sigma _{n,3}=s_{n,1}^{3}-3s_{n,1}s_{n,2}+2s_{n,3}}$

Enthält der Ring ${\displaystyle A}$ die rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, so gilt ein ähnlicher Satz wie bei den elementarsymmetrischen Polynomen:

• Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in Potenzsummen schreiben.
• Diese Darstellung ist eindeutig.

Siehe auch

• Lagrange-Resolvente
• Symmetrische Funktion

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Kapitel 4, Abschnitt 4.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, Kapitel III, §4.1.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, Kapitel IV, §3.3.