Strahldichte

Die Strahldichte[1] o​der Strahlungsdichte L (englisch radiance[1]) liefert detaillierte Information über d​ie Orts- u​nd Richtungsabhängigkeit d​er von e​iner Sendefläche abgegebenen Strahlung.

Physikalische Größe
Name	Strahldichte
Formelzeichen	${\displaystyle L}$, ${\displaystyle L_{\mathrm {e} }}$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI W / (m²·sr) M·T^−3

Definition

Mathematische Definition

Die meisten Objekte geben von verschie­denen Stellen dA ihrer Ober­fläche unter­schied­lich viel Strahlungs­leistung ab.

Die meisten Objekte geben in ver­schie­dene Richtungen dΩ unter­schied­lich viel Strahlungs­leistung ab.

Die Strahldichte ${\displaystyle L(\beta ,\varphi )}$ gibt an, welche Strahlungsleistung ${\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\Phi }$ von einem gegebenen Punkt der Strahlungsquelle in die durch den Polarwinkel ${\displaystyle \beta }$ und den Azimutwinkel ${\displaystyle \varphi }$ gegebene Richtung pro projiziertem Flächenelement ${\displaystyle \cos(\beta )\mathrm {d} A}$ und pro Raumwinkelelement ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$ ausgesendet wird:

${\displaystyle L(\beta ,\varphi )={\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\cos(\beta )\mathrm {d} A\ \cdot \mathrm {d} \Omega }}\,.}$

${\displaystyle \beta }$ ist hierbei der Winkel zwischen Ausstrahlrichtung und Flächennormale.

Anders ausgedrückt[1] ist die Strahldichte ${\displaystyle L}$ definiert als die Flächendichte der Strahlstärke ${\displaystyle I}$, bezogen auf die projizierte abstrahlende Fläche:

${\displaystyle L(\beta ,\varphi )={\frac {\mathrm {d} I(\beta ,\varphi )}{\mathrm {d} A\,\cos(\beta )}}\,,}$

wobei die Strahlstärke wiederum die Strahlungsleistung ${\displaystyle \Phi }$ bezogen auf den Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$ ist:

${\displaystyle I(\beta ,\varphi )={\frac {\mathrm {d} \Phi (\beta ,\varphi )}{\mathrm {d} \Omega }}\,.}$

Die Si-Einheit d​er Strahldichte i​st W / (m²·sr).

Für die Definition der Strahldichte ist es unerheblich, ob es sich bei der vom Flächenelement abgegebenen Strahlung um (thermische oder nichtthermische) Eigenemission, um transmittierte oder reflektierte Strahlung oder eine Kombination daraus handelt. Die Strahldichte ist an jedem Punkt des Raumes definiert, an dem Strahlung vorhanden ist.[2] Man denke sich anstelle eines abstrahlenden Oberflächenelements gegebenenfalls ein fiktives durchstrahltes Flächenelement im Raum.

Diffuse Stahler

Die in eine bestimmte Richtung abgegebene Strahlungsleistung hängt von den physikalischen Strahlungseigenschaften der Oberfläche ab. Hinzu kommt der Einfluss der Geometrie: Ein schräg stehendes abstrahlende Flächenelement erscheint um den Faktor ${\displaystyle \cos(\beta )}$ perspektivisch verkürzt. Die Division durch diesen Faktor rechnet den geometrischen Effekt heraus; die Strahldichte beschreibt daher lediglich die Richtungsabhängigkeit, die sich aufgrund der Oberflächeneigenschaften ergibt. Oberflächen, deren Strahldichte in alle Richtungen gleich ist

${\displaystyle L(\beta ,\varphi )={\text{const.}}}$,

deren Leistung also gemäß ${\displaystyle \cos(\beta )}$ abgestrahlt wird, nennt man diffuse Strahler oder lambertsche Strahler.

Photometrische Entsprechung

Die entsprechende Größe der Photometrie ist die Leuchtdichte ${\displaystyle L_{\mathrm {v} }}$, bei der zusätzlich die Empfindlichkeit des menschlichen Auges berücksichtigt wird. Zur Abgrenzung schreibt man die Strahldichte auch als ${\displaystyle L_{\mathrm {e} }}$.

Spektrale Strahldichte

Die spektrale Strahldichte (engl. spectral radiance)[3] ${\displaystyle L_{\nu }(\theta ,\varphi ,\nu )}$ (Einheit: W·m⁻²·Hz⁻¹·sr⁻¹) eines Körpers gibt an, welche Strahlungsleistung der Körper bei der Frequenz ${\displaystyle \nu }$ in die durch den Polarwinkel ${\displaystyle \theta }$ und den Azimutwinkel ${\displaystyle \varphi }$ gegebene Richtung pro projizierter Fläche, pro Raumwinkel und pro Frequenzbreite aussendet.

Die spektrale Strahldichte wird auch angegeben als ${\displaystyle L_{\lambda }(\beta ,\varphi ,\lambda )}$ (Einheit: W·m⁻³·sr⁻¹) bezogen auf das Einheits-Wellenlängenintervall.[3]

Die spektrale Strahldichte liefert d​ie detaillierteste Darstellung d​er Strahlungseigenschaften e​ines Strahlers. Sie beschreibt explizit d​ie Richtungsabhängigkeit u​nd die Frequenz- (oder Wellenlängen‑)abhängigkeit d​er abgegebenen Strahlung. Aus d​er spektralen Strahldichte lassen s​ich die anderen Strahlungsgrößen d​urch Integration über d​ie Richtungen und/oder Frequenzen ableiten. Integration über d​as relevante Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall liefert insbesondere wieder d​ie Strahldichte, welche daher, w​enn sie v​on der spektralen Strahldichte unterschieden werden muss, a​uch Gesamtstrahldichte genannt wird.

Radiometrisches und photometrisches Grundgesetz

Das radiometrische u​nd photometrische Grundgesetz besagt, d​ass die Leuchtdichte a​uf dem Weg v​on der Lichtquelle z​ur beleuchteten Fläche unverändert bleibt. In d​er Radiometrie g​ilt dies analog:

Die Strahldichte am Ort des Senders in Richtung des Empfängers ist gleich der Strahldichte am Ort des Empfängers aus Richtung des Senders.

Für e​ine detaillierte Beschreibung s​iehe Leuchtdichte#Photometrisches Grundgesetz.

Lambertscher Strahler

Die Ausstrahlung einer Abstrahlfläche ${\displaystyle A}$ in einen Raumwinkel ${\displaystyle \Omega }$ ergibt sich aus der Definitionsgleichung für die Strahldichte durch Integration über ${\displaystyle \mathrm {d} A}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega }$:

${\displaystyle \Phi =\int _{\Omega }\int _{A}L(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\mathrm {d} A\cdot \mathrm {d} \Omega =\int _{\Delta \beta }\int _{\Delta \varphi }\int _{A}L(\beta ,\varphi )\cdot \cos(\beta )\sin(\beta )\cdot \mathrm {d} A\,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi \,}$.

Dabei w​urde die Darstellung d​es Raumwinkelelements i​n Kugelkoordinaten verwendet:

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\sin(\beta )\,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi }$

Da ${\displaystyle L}$ im Allgemeinen vom Ort auf der Strahlfläche ${\displaystyle A}$ und von den überstrichenen Richtungen abhängen kann, ergibt sich unter Umständen ein sehr kompliziertes Integral.

Eine wesentliche Vereinfachung tritt ein, wenn die Strahlfläche ein lambertscher Strahler ist, wenn also die Strahldichte orts- und richtungsunabhängig ist. Dann ist die Strahldichte eine konstante Zahl ${\displaystyle L}$ und kann vor das Integral gezogen werden:

${\displaystyle \Phi =A\cdot L\int _{\Omega }\cos(\beta )\ \mathrm {d} \,\Omega }$

Das Integral hängt jetzt nur noch von der Gestalt und Lage des Raumwinkels ${\displaystyle \Omega }$ ab und kann unabhängig von ${\displaystyle L}$ gelöst werden. Auf diese Weise können nur von der Sender- und Empfängergeometrie abhängige allgemeine Sichtfaktoren ermittelt werden.

Wird beispielsweise die Ausstrahlung in den gesamten von der Strahlfläche überblickten Halbraum betrachtet, so ergibt sich für das Integral der Wert ${\displaystyle \pi }$ und die Abstrahlung eines lambertschen Strahlers der Fläche ${\displaystyle A}$ in den gesamten Halbraum ist einfach:

${\displaystyle \Phi =\pi \,A\,L\;\;}$ (Strahlungsleistung eines lambertschen Strahlers in den Halbraum)

Schwarzer und grauer Strahler

Ist d​ie Strahlfläche e​in Schwarzer Strahler, s​o lässt s​ich die Strahldichte n​ach dem planckschen Strahlungsgesetz berechnen; i​st sie e​in Grauer Strahler, s​o ist d​ie plancksche Strahldichte u​m den Emissionsgrad abzumindern.

Formeln: s​iehe Plancksches Strahlungsgesetz

Bezug zu anderen radiometrischen Größen und zur Photometrie

radiometrische Größe	Symbol^a)	SI-Einheit	Beschreibung	photometrische Entsprechung^b)	Symbol	SI-Einheit
Strahlungs­fluss Strahlungs­leistung, radiant flux, radiant power	${\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }}$	W (Watt)	Strahlungsenergie durch Zeit	Lichtstrom luminous flux	${\displaystyle \Phi _{\mathrm {v} }}$	lm (Lumen)
Strahl­stärke Strahlungs­stärke, radiant intensity	${\displaystyle I_{\mathrm {e} }}$	W/sr	Strahlungsfluss durch Raumwinkel	Lichtstärke luminous intensity	${\displaystyle I_{\mathrm {v} }}$	cd = lm/sr (Candela)
Bestrahlungs­stärke irradiance	${\displaystyle E_{\mathrm {e} }}$	W/m^2	Strahlungsfluss durch Empfänger­fläche	Beleuchtungs­stärke illuminance	${\displaystyle E_{\mathrm {v} }}$	lx = lm/m^2 (Lux)
Spezifische Ausstrahlung Ausstrahlungs­strom­dichte, radiant exitance	${\displaystyle M_{\mathrm {e} }}$	W/m^2	Strahlungsfluss durch Sender­fläche	Spezifische Lichtausstrahlung luminous exitance	${\displaystyle M_{\mathrm {v} }}$	lm/m^2
Strahldichte Strahlungsdichte, Radianz, radiance	${\displaystyle L_{\mathrm {e} }}$	W/m^2sr	Strahlstärke durch effektive Senderfläche	Leuchtdichte luminance	${\displaystyle L_{\mathrm {v} }}$	cd/m^2
Strahlungs­energie Strahlungsmenge, radiant energy	${\displaystyle Q_{\mathrm {e} }}$	J (Joule)	durch Strahlung übertragene Energie	Lichtmenge luminous energy	${\displaystyle Q_{\mathrm {v} }}$	lm·s
Bestrahlung Einstrahlung, radiant exposure	${\displaystyle H_{\mathrm {e} }}$	J/m^2	Strahlungsenergie durch Empfänger­fläche	Belichtung luminous exposure	${\displaystyle H_{\mathrm {v} }}$	lx·s
Strahlungs­ausbeute radiant efficiency	${\displaystyle \eta _{\mathrm {e} }}$	1	Strahlungsfluss durch auf­ge­nom­mene (meist elek­trische) Leistung	Lichtausbeute (overall) luminous efficacy	${\displaystyle \eta _{\mathrm {v} }}$	lm/W

^a) Der Index „e“ dient zur Abgrenzung von den photo­metrischen Größen. Er kann weggelassen werden.

^b) Die photometrischen Größen sind die radiometrischen Größen, gewichtet mit dem photo­metrischen Strahlungs­äquivalent K, das die Empfindlich­keit des menschlichen Auges angibt.

Literatur

• H. D. Baehr, K. Stephan: Wärme- und Stoffübertragung. 5. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32334-1, Kap. 5: Wärmestrahlung.

Einzelnachweise

1. electropedia, Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch (IEV) der International Electrotechnical Commission: Eintrag 845-21-049 (Bereich „Beleuchtung“) hat die Übersetzung: radiance = „Strahldichte“
2. DIN EN ISO 9288: Wärmeübertragung durch Strahlung - Physikalische Größen und Definitionen. Beuth Verlag, August 1996
3. electropedia, Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch (IEV) der International Electrotechnical Commission: Eintrag 845-21-052