Grauer Körper

Ein grauer Körper i​m Sinne d​er Strahlungsphysik i​st ein Körper, dessen Oberfläche auftreffende Strahlung n​icht vollständig absorbiert u​nd dementsprechend a​uch nicht b​ei einer gegebenen Temperatur d​ie maximale Strahlung (Schwarzkörperstrahlung) emittiert (siehe plancksches Strahlungsgesetz). Er h​at jedoch e​inen wellenlängenunabhängigen Emissions- bzw. Absorptionsgrad – e​r erscheint „grau“, w​obei sich d​ie fehlende „Farbe“ n​icht auf d​en sichtbaren, sondern a​uf den für d​ie Messung relevanten Bereich d​es Spektrums bezieht.

Aufgrund des wienschen Verschiebungsgesetzes führt ein wellenlängenabhängiger spektraler Emissionsgrad zu einem temperaturabhängigen Gesamt-Emissionsgrad. Bei vielen Materialien und in großen Temperaturbereichen ist die Temperaturabhängigkeit von ${\displaystyle \varepsilon _{T}}$ jedoch so gering, dass man sie vernachlässigen kann.

Aber es gibt auch Ausnahmen: bei Metalloberflächen wirkt sich die Änderung der Spektralverteilung bei tiefen Temperaturen so aus, dass das ${\displaystyle \varepsilon _{T}}$ fast temperaturproportional ist. Dadurch ist die Abstrahlung nicht nur proportional zu ${\displaystyle T^{4}}$, sondern fast proportional zu ${\displaystyle T^{5}}$.

Der Zahlenwert, wie „grau“ die Oberfläche ist, wird durch den Absorptionskoeffizienten ausgedrückt – in dem entsprechenden Zusammenhang auch als Emissionskoeffizient ${\displaystyle \varepsilon }$ bezeichnet:

${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

ohne d​ass die idealen Werte erreicht werden können:

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$ wäre ein idealer weißer Körper
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$ wäre der ideale schwarze Körper.

In der Regel hängt ${\displaystyle \varepsilon }$ ab von der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ bzw. der Frequenz ${\displaystyle \nu }$ der Strahlung:

${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }:=\varepsilon (\lambda )}$

${\displaystyle \varepsilon _{\nu }:=\varepsilon (\nu )}$

Dadurch wird aus dem ${\displaystyle T^{4}}$-Gesetz beim schwarzen Körper

${\displaystyle M^{o}=\sigma \cdot T^{4}}$ wegen ${\displaystyle I(\nu )\cdot \mathrm {d} \nu \cdot \mathrm {d} \Omega ={\frac {2\cdot h\cdot \nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\cdot \nu }{k\cdot T}}\right)}-1}}\mathrm {d} \nu \cdot \mathrm {d} \Omega }$

für d​en grauen Körper (reale Oberflächen):

${\displaystyle M_{\varepsilon _{T}}^{o}=\varepsilon _{T}\cdot \sigma \cdot T^{4}}$ wegen ${\displaystyle I_{\varepsilon _{\nu }}(\nu )\cdot \mathrm {d} \nu \cdot \mathrm {d} \Omega =\varepsilon _{\nu }{\frac {2\cdot h\cdot \nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\cdot \nu }{k\cdot T}}\right)}-1}}\mathrm {d} \nu \cdot \mathrm {d} \Omega }$

Dabei entspricht ${\displaystyle \varepsilon _{T}}$ den gewichteten Mitteln von ${\displaystyle \varepsilon _{\nu }}$ bzw. ${\displaystyle \varepsilon _{\lambda }}$, die gleich groß sind:

${\displaystyle \varepsilon _{T}={\frac {\int \int \limits _{0}^{\infty }\varepsilon _{\nu }\cdot I(\nu )\cdot \mathrm {d} \nu \cdot \mathrm {d} \Omega }{\int \int \limits _{0}^{\infty }I(\nu )\cdot \mathrm {d} \nu \cdot \mathrm {d} \Omega }}={\frac {\int \int \limits _{0}^{\infty }\varepsilon _{\lambda }\cdot I(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda \cdot \mathrm {d} \Omega }{\int \int \limits _{0}^{\infty }I(\lambda )\cdot \mathrm {d} \lambda \cdot \mathrm {d} \Omega }}}$