Stochastisches Exponential

Ein stochastisches Exponential i​st ein stochastischer Prozess, d​er im mathematischen Teilgebiet d​er stochastischen Analysis e​in Analogon z​ur Exponentialfunktion d​er gewöhnlichen Analysis darstellt. Nach d​er französischen Mathematikerin Catherine Doléans-Dade w​ird es a​uch als Doléans-Dade-Exponential o​der kurz a​ls Doléans-Exponential bezeichnet.

Drei Realisierungen eines Standard-Wiener-Prozesses (oben) und dessen stochastischen Exponentials (unten)

Die Exponentialfunktion lässt s​ich dadurch charakterisieren, d​ass sie m​it ihrer Ableitung übereinstimmt. Will m​an ein analoges Verhalten für d​ie Exponentialfunktion e​ines stochastischen Prozesses erreichen, s​o muss w​egen des Lemmas v​on Itō dessen quadratische Variation mitberücksichtigt werden, w​enn diese w​ie beispielsweise b​eim Wiener-Prozess n​icht verschwindet.

Stochastische Exponentiale spielen u​nter anderem e​ine wichtige Rolle b​ei der expliziten Lösung v​on stochastischen Differentialgleichungen u​nd treten b​eim Satz v​on Girsanow auf, d​er das Verhalten stochastischer Prozesse b​ei einem Wechsel d​es Maßes beschreibt. Eine wichtige Fragestellung i​st in diesem Zusammenhang, u​nter welchen Bedingungen e​in stochastisches Exponential e​in Martingal ist. Viele Modelle d​er Finanzmathematik beinhalten Prozesse, d​ie stochastische Exponentiale sind, s​o zum Beispiel d​ie geometrische brownsche Bewegung b​eim Black-Scholes-Modell.

Einführung

Die Exponentialfunktion ${\displaystyle u(t)=\mathrm {e} ^{t}}$ ist eindeutig bestimmt durch die beiden Bedingungen ${\displaystyle u'(t)=u(t)}$ und ${\displaystyle u(0)=1}$. Etwas allgemeiner folgt mit der Kettenregel, dass ${\displaystyle u(t)=\mathrm {e} ^{x(t)-x(0)}}$ die eindeutig bestimmte Lösung der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung ${\displaystyle u'(t)=u(t)x'(t)}$ mit der Anfangsbedingung ${\displaystyle u(0)=1}$ ist.

Diese Zusammenhänge gelten bei stochastischen Differentialgleichungen in dieser einfachen Form nicht mehr, da hierbei die Kettenregel durch das Lemma von Itō ersetzt werden muss, das die quadratische Variation der Prozesse mit berücksichtigt. Ist beispielsweise ${\displaystyle (W_{t})}$ ein Standard-Wiener-Prozess, so ergibt sich für das Differential des Prozesses ${\displaystyle U_{t}=u(W_{t})=\mathrm {e} ^{W_{t}}}$ wegen ${\displaystyle u=u'=u''}$ mit dem Itō-Lemma

${\displaystyle \mathrm {d} U_{t}=\mathrm {e} ^{W_{t}}\,\mathrm {d} W_{t}+{\frac {1}{2}}\mathrm {e} ^{W_{t}}\,\mathrm {d} t=U_{t}\left(\mathrm {d} W_{t}+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} t\right)}$.

Der zusätzliche Term in dieser stochastischen Differentialgleichung lässt sich vermeiden, wenn anstelle der Exponentialfunktion der „korrigierte“ Ansatz ${\displaystyle U_{t}=\mathrm {e} ^{W_{t}-{\frac {1}{2}}t}}$ verwendet wird: Dann ergibt sich ${\displaystyle \mathrm {d} U_{t}=U_{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$, analog zum Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen. Zudem ist nun der Prozess ${\displaystyle U}$ wie der Wiener-Prozess ein Martingal.

Definition

Es sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$ ein Semimartingal. Dann heißt das (eindeutig bestimmte) Semimartingal ${\displaystyle U=(U_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$, das Lösung der stochastischen Differentialgleichung

${\displaystyle \mathrm {d} U_{t}=U_{t-}\,\mathrm {d} X_{t}}$

mit Anfangsbedingung ${\displaystyle U_{0}=1}$ ist, das stochastische Exponential von ${\displaystyle X}$ und wird mit ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ bezeichnet, d. h. ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}:=U_{t}}$.

Mit ${\displaystyle U_{t-}}$ wird dabei der linksseitige Grenzwert des Prozesses ${\displaystyle U}$ an der Stelle ${\displaystyle t}$ bezeichnet. Falls ${\displaystyle X}$ stetig ist, so ist auch ${\displaystyle U}$ stetig; es gilt dann ${\displaystyle U_{t-}=U_{t}}$.

Dass der Prozess ${\displaystyle U}$ Lösung des genannten Anfangswertproblems ist, bedeutet explizit, dass er die Itō-Integralgleichung

${\displaystyle U_{t}=1+\int _{0}^{t}U_{s-}\,\mathrm {d} X_{s}}$

erfüllt.

Explizite Darstellung und Rechenregeln

Ist ${\displaystyle X}$ ein stetiges Semimartigal, so hat das stochastische Exponential die explizite Darstellung

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\mathrm {e} ^{X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}}}$,

wobei ${\displaystyle [X,X]}$ die quadratische Variation von ${\displaystyle X}$ bezeichnet.

Im allgemeinen Fall müssen zusätzlich die Sprungstellen von ${\displaystyle X}$ berücksichtigt werden. Hier ergibt sich

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\mathrm {e} ^{X_{t}-X_{0}-{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}}\prod _{s\leq t}(1+\Delta X_{s})\mathrm {e} ^{-\Delta X_{s}+{\frac {1}{2}}(\Delta X_{s})^{2}}}$

mit dem Sprungprozess ${\displaystyle \Delta X_{s}=X_{s}-X_{s-}}$.

Anstelle der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt für das stochastische Exponential von Semimartingalen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ die Rechenregel

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}{\mathcal {E}}(Y)_{t}={\mathcal {E}}(X+Y+[X,Y])_{t}}$.

Ist ${\displaystyle X}$ stetig mit ${\displaystyle X_{0}=0}$, so gilt

${\displaystyle ({\mathcal {E}}(X)_{t})^{-1}={\mathcal {E}}(-X+[X,X])_{t}}$.

Martingaleigenschaften

Im Folgenden sei ${\displaystyle X}$ ein stetiges Semimartingal und ohne Einschränkung gelte ${\displaystyle X_{0}=0}$, also ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\mathrm {e} ^{X_{t}-{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}}}$. Gemäß Definition ist das stochastische Exponential stets ein Semimartingal. Ist ${\displaystyle X}$ ein lokales Martingal, so zeigt die Darstellung als Itō-Integral, dass ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ebenfalls ein lokales Martingal ist. Allerdings muss, selbst wenn ${\displaystyle X}$ ein Martingal ist, das stochastische Exponential kein echtes Martingal sein; als nichtnegatives lokales Martingal ist es dann jedoch ein Supermartingal.

Für viele Anwendungen ist es wichtig, einfach nachzuprüfende Kriterien zu haben, die garantieren, dass das stochastische Exponential eines lokalen Martingals ein (echtes) Martingal ist. Die bekannteste hinreichende Bedingung ist die Novikov-Bedingung (nach dem russischen Mathematiker Alexander Novikov): Sei ${\displaystyle X}$ ein stetiges lokales Martingal mit ${\displaystyle X_{0}=0}$. Gilt ${\displaystyle \operatorname {E} {\bigl (}\mathrm {e} ^{{\frac {1}{2}}[X,X]_{t}}{\bigr )}<\infty }$ für alle ${\displaystyle t\leq T}$, dann ist ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ein Martingal auf ${\displaystyle [0,T]}$.

Anwendungen

Lineare stochastische Differentialgleichungen

Mit Hilfe des stochastischen Exponentials lassen sich die Lösungen linearer stochastischer Differentialgleichungen explizit angeben. Eine lineare stochastische Differentialgleichung hat die Gestalt

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\bigl (}\alpha _{t}+\beta _{t}X_{t}{\bigr )}\,\mathrm {d} t+{\bigl (}\gamma _{t}+\delta _{t}X_{t}{\bigr )}\,\mathrm {d} W_{t}}$

mit stetigen Funktionen oder stetigen adaptierten stochastischen Prozessen ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$. Die zugehörige homogene Gleichung

${\displaystyle \mathrm {d} U_{t}=\beta _{t}U_{t}\,\mathrm {d} t+\delta _{t}U_{t}\,\mathrm {d} W_{t}=U_{t}(\beta _{t}\,\mathrm {d} t+\delta _{t}\,\mathrm {d} W_{t})}$

besitzt die Lösung ${\displaystyle U_{t}={\mathcal {E}}(Y)_{t}}$ mit ${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\beta _{t}\,\mathrm {d} t+\delta _{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$ und ohne Einschränkung ${\displaystyle Y_{0}=0}$. Die allgemeine Lösung lautet somit explizit

${\displaystyle U_{t}=U_{0}\mathrm {e} ^{Y_{t}-{\frac {1}{2}}[Y,Y]_{t}}}$

mit

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}\beta _{s}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\delta _{s}\,\mathrm {d} W_{s}}$

und

${\displaystyle [Y,Y]_{t}=\int _{0}^{t}\delta _{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$.

Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung lässt sich hieraus durch Variation der Konstanten finden, also durch den Ansatz ${\displaystyle X_{t}=Z_{t}U_{t}}$.

Satz von Girsanow

→ Hauptartikel: Satz von Girsanow

Es seien ${\displaystyle (W_{t})}$ ein Wiener-Prozess auf dem Intervall ${\displaystyle [0,T]}$ bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle X}$ ein Prozess mit ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\theta _{t}\,\mathrm {d} W_{t}}$. Falls das stochastische Exponential ${\displaystyle L_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}}$ ein Martingal ist, dann gilt ${\displaystyle \operatorname {E} (L_{T})=\operatorname {E} (L_{0})=1}$ und ${\displaystyle L_{T}}$ kann als Radon-Nikodým-Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle Q}$ bezüglich ${\displaystyle P}$ aufgefasst werden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} P}}=L_{T}}$.

Bezüglich des so definierten Maßes ${\displaystyle Q}$ ist der Drift-Prozess

${\displaystyle B_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}\theta _{s}\,\mathrm {d} s}$

ein Standard-Wiener-Prozess.

Literatur

• Nicholas H. Bingham, Rüdiger Kiesel: Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives. 2. Auflage, Springer, London/Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 1-85233-458-4, S. 197, 215–217.
• Fima C. Klebaner: Introduction to Stochastic Calculus with Applications. 3. Auflage, Imperial College Press, London 2012, ISBN 978-1-84816-831-2.
• Philip E. Protter: Stochastic Integrals and Differential Equations. 2. Auflage, Version 2.1, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-00313-4.