Lemma von Itō

Das Lemma v​on Itō (auch Itō-Formel), benannt n​ach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, i​st eine zentrale Aussage i​n der stochastischen Analysis. In seiner einfachsten Form i​st es e​ine Integraldarstellung für stochastische Prozesse, d​ie Funktionen e​ines Wiener-Prozesses sind. Es entspricht d​amit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel d​er klassischen Differential- u​nd Integralrechnung.

Version für Wiener-Prozesse

Sei ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ ein (Standard-)Wiener-Prozess und ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt

${\displaystyle h(W_{t})=h(W_{0})+\int _{0}^{t}h'(W_{s})\,{\rm {d}}W_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}h''(W_{s})\,{\rm {d}}s\,.}$

Dabei i​st das e​rste Integral a​ls Itō-Integral u​nd das zweite Integral a​ls ein gewöhnliches Riemann-Integral (über d​ie stetigen Pfade d​es Integranden) z​u verstehen.

Für den durch ${\displaystyle Y_{t}=h(W_{t})}$ für ${\displaystyle t\geq 0}$ definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise

${\displaystyle {\rm {d}}Y_{t}=h'(W_{t})\,{\rm {d}}W_{t}+{\frac {1}{2}}h''(W_{t})\,{\rm {d}}t\,.}$

Version für Itō-Prozesse

Ein stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ heißt Itō-Prozess, falls

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}\,{\rm {d}}s+\int _{0}^{t}b_{s}\,{\rm {d}}W_{s}}$

für zwei stochastische Prozesse ${\displaystyle a_{s}}$, ${\displaystyle b_{s}}$ gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

${\displaystyle {\rm {d}}X_{t}=a_{t}\,{\rm {d}}t+b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.}$

Ist ${\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch ${\displaystyle Y_{t}:=h(t,X_{t})}$ definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}Y_{t}&={\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}X_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})({\rm {d}}X_{t})^{2}\\&=\left({\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,a_{t}+{\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})\,b_{t}^{2}\right){\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnen ${\displaystyle {\tfrac {\partial h}{\partial t}}}$ und ${\displaystyle {\tfrac {\partial h}{\partial x}}}$ die partiellen Ableitungen der Funktion ${\displaystyle h}$ nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von ${\displaystyle ({\rm {d}}X_{t})^{2}=b_{t}^{2}\,{\rm {d}}t}$ und Zusammenfassen der ${\displaystyle {\rm {d}}t}$- und ${\displaystyle {\rm {d}}W_{t}}$-Terme.

Version für Semimartingale

Sei ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}=(X_{t}^{1},\dotsc ,X_{t}^{d})_{t\geq 0}}$ ein ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$-wertiges Semimartingal und sei ${\displaystyle F\in C^{2}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )}$. Dann ist ${\displaystyle (F(X_{t}))_{t\geq 0}}$ wieder ein Semimartingal und es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{t})-F(X_{0})=&\sum _{j=1}^{d}\int _{0}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-}){\rm {d}}X_{s}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{d}\int _{0}^{t}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-}){\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}^{c}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left(F(X_{s})-F(X_{s-})-\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

Hierbei ist ${\displaystyle \textstyle X_{s-}=\lim _{u\uparrow s}X_{u}}$ der linksseitige Grenzwert und ${\displaystyle \Delta X_{s}^{j}=X_{s}^{j}-X_{s-}^{j}}$ der zugehörige Sprungprozess. Mit ${\displaystyle [X^{j},X^{k}]^{c}}$ wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten ${\displaystyle X^{j}}$ und ${\displaystyle X^{k}}$ bezeichnet. Falls ${\displaystyle X}$ ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte Summe in der Formel und es gilt ${\displaystyle [X^{j},X^{k}]^{c}=[X^{j},X^{k}]}$.

Beispiele

• Für ${\displaystyle Y_{t}=\sin(W_{t})}$ gilt ${\displaystyle {\rm {d}}Y_{t}=\cos(W_{t})\,{\rm {d}}W_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sin(W_{t})\,{\rm {d}}t}$.

• Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische brownsche Bewegung

${\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}}$

eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholes

${\displaystyle {\rm {d}}S_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}}$

ist.

Hierzu wählt man ${\displaystyle X_{t}=W_{t}}$, also ${\displaystyle a_{t}=0,\;b_{t}=1}$.

Dann ergibt das Lemma mit ${\displaystyle h(t,x)=S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma x}}$:

${\displaystyle {\rm {d}}S_{t}=\left[\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}t+\left[\sigma S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}W_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.}$

• Ist ${\displaystyle (\mathbf {W} _{t})_{t\geq 0}}$ ein ${\displaystyle d}$-dimensionaler Wiener-Prozess und ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für ${\displaystyle Y_{t}=F(\mathbf {W} _{t})}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\nabla F(\mathbf {W} _{t})^{\mathsf {T}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {W} _{t}+{\frac {1}{2}}\Delta F(\mathbf {W} _{t})\,\mathrm {d} t}$,

wobei ${\displaystyle \nabla F}$ den Gradienten und ${\displaystyle \Delta F}$ den Laplace-Operator von ${\displaystyle F}$ bezeichnen.

Literatur

• Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.

Einzelnachweise

1. Hui-Hsiung Kuo: Introduction to Stochastic Integration. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1, S. 103 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).