Sprungprozess

Ein Sprungprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess und somit ein Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Anschaulich zeichnen sich Sprungprozesse dadurch aus, dass ihr Wert eine gewisse (zufällige) Zeit lang konstant bleibt, um dann einen Sprung zu einem weiteren Wert zu machen, auf dem sie wieder eine Zeit lang verharren. Im einfachsten Fall eines Sprungprozesses mit der Indexmenge und Zustandsmenge ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bilden die Pfade eines Sprungprozesses eine Treppenfunktion.

Definition

Zwei Pfade eines Poisson-Prozesses, einem typischen Sprungprozess

Gegeben sei ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ mit Indexmenge ${\displaystyle T}$ und Werten in ${\displaystyle E}$.

Dann heißt ${\displaystyle X}$ ein Sprungprozess, wenn die Pfade des Prozesses, also die Abbildungen

${\displaystyle W_{\omega }\colon T\to E}$,

definiert durch

${\displaystyle W_{\omega }(t):=X_{t}(\omega )}$

stückweise konstant sind.[1]

Beispiele

Eine große Klasse v​on Sprungprozessen s​ind die Zählprozesse, z​u denen a​uch der Poisson-Prozess gehört. Anschaulich zählen d​iese die Anzahl d​er bis z​u einem gewissen Zeitpunkt eingetretenen Ereignisse, ähnlich e​inem Geigerzähler. Bei j​edem eingetretenen Ereignis springen s​ie um d​en Wert e​ins nach oben.

Bemerkung

Auch b​ei Sprungprozessen s​ind degenerierte Fälle möglich u​nd müssen i​m Zweifel explizit ausgeschlossen werden. Einer dieser Spezialfälle i​st eine sogenannte Explosion. Dabei h​at der Sprungprozess i​n endlicher Zeit unendlich v​iele Sprünge (nach oben).[2]

Ein möglicher Pfad s​olch einer Explosion wäre gegeben durch

${\displaystyle W(t):=n\;}$ für ${\displaystyle \;t\in [-{\tfrac {1}{n}};-{\tfrac {1}{n+1}})}$

mit ${\displaystyle t\in [-1,0)}$. Solche Explosionen treten beispielsweise bei der Modellierung von Patientenaufnahmen in einem Krankenhaus bei Ausbruch einer Seuche auf. Dabei werden in immer kürzer werdenden Abständen Patienten in das Krankenhaus eingeliefert. Im obigen Beispiel wäre der zeitliche Abstand zwischen Patient ${\displaystyle n-1}$ und Patient ${\displaystyle n}$ genau ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ Zeiteinheiten lang. Die Anzahl der belegten Betten zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ (vor der Explosion) ist durch ${\displaystyle W(t)}$ gegeben.

Einzelnachweise

1. Yu.M. Kabanov: Jump Process. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
2. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 273–274, doi:10.1007/b137972.