Semimartingal

Als Semimartingale werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet, die insbesondere für die Definition eines allgemeinen stochastischen Integrals von Bedeutung sind. Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) oder den Poisson-Prozess.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ mit zugehöriger Filtration ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})}$. Dabei wird angenommen, dass die Filtration vollständig ist (alle P-Nullmengen sind ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$-messbar).

Ein Semimartingal ist dann ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X}$ mit Werten in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ mit:

• ${\displaystyle X}$ ist an ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})}$ adaptiert,
• die Pfade/Trajektorien von ${\displaystyle X}$ sind càdlàg, also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren,
• es existiert eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung:
  ${\displaystyle X=X_{0}+M+A\,,\;}$
  wobei ${\displaystyle X_{0}}$ fast sicher endlich und ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$-messbar, ${\displaystyle M}$ ein lokales Martingal und ${\displaystyle A}$ ein Prozess von lokal endlicher Variation ist.

Eigenschaften

Stochastische Integration

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine stochastische Integrale konstruieren. Semimartingale stellen die größte Klasse von Integratoren dar, für die ein Integral der Form

${\displaystyle (H\cdot X)_{t}:=\int _{0}^{t}H_{s}dX_{s}}$

sinnvoll definiert werden kann. ${\displaystyle H}$ stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschränkten vorhersagbaren Prozesse.

Stabilität unter Transformationen

Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil. Nicht nur ist jedes gestoppte Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal, auch unter Lokalisierung, einem "Wechsel der Zeit" oder einem Übergang zu einem neuen absolut stetigen Maß bleiben Semimartingale erhalten.

Beispiele

Martingale

Jedes Martingal ist trivialerweise ein Semimartingal, da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist.

Außerdem ist jedes Submartingal ein Semimartingal sowie jedes Supermartingal, sofern es rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten ist.

Sprungprozesse

Viele Sprungprozesse wie verallgemeinerte Poisson-Prozesse sind Semimartingale, da sie von beschränkter Variation sind.

Ito-Prozesse

Unter anderem in der Finanzmathematik spielen Ito-Prozesse eine zentrale Rolle. Diese sind darstellbar als

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}b_{s}\,{\rm {d}}s+\int _{0}^{t}\sigma _{s}{\rm {d}}W_{s},}$

wobei der letzte Term ein Ito-Integral mit Volatilitätsprozess ${\displaystyle \sigma _{s}}$ bezeichnet. Dieser Term ist ein lokales Martingal.

Literatur

• Jean Jacod, Albert N. Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes. 2. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43932-3.
• Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4.