Spektraldichteschätzung

Die Spektraldichte e​ines stationären stochastischen Prozesses erlaubt t​iefe Einblicke i​n die Struktur d​es Prozesses, insbesondere w​enn es s​ich um Erkenntnisse über Periodizitäten handelt. Es i​st also wichtig, d​ass aus gegebenen Daten, z. B. e​iner konkreten Zeitreihe, d​ie Spektraldichte g​ut geschätzt werden kann.

Grundlage d​er meisten Schätzer i​st das Periodogramm, d​as auf Arthur Schuster 1898 zurückgeht.[1]

Definitionen

Spektraldichte

Sei ${\displaystyle X_{t};t\in \mathbb {Z} }$ (${\displaystyle \mathbb {Z} }$ die Menge der ganzen Zahlen) ein (evtl. komplexwertiger) stationärer stochastischer Prozess mit

• Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}=0}$
• Kovarianzfunktion ${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}X_{t+h}=\gamma (h)}$.

Falls ${\displaystyle \textstyle \sum _{h=-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|<\infty }$, gilt die Spektraldarstellung von ${\displaystyle \gamma (h)}$:

${\displaystyle \gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )\,e^{ih\lambda }\,d\lambda \quad \mathrm {mit} \quad f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{h=-\infty }^{\infty }e^{-ih\lambda }\,\gamma (h)}$.

Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt Spektraldichte. Ihr Funktionswert ${\displaystyle f(\lambda )}$ gibt die Intensität der Frequenz ${\displaystyle \lambda }$ im Spektrum von ${\displaystyle X_{t}}$ an.

Periodogramm

Seien ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ Realisierungen eines stationären stochastischen Prozesses ${\displaystyle X_{t}}$ mit ${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}=0}$. Dann heißt der Ausdruck

${\displaystyle I_{n}(\lambda ):={\frac {1}{2\pi n}}\left|\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,e^{-i\lambda k}\right|^{2}}$

Periodogramm der konkreten Zeitreihe ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$.

Schätzungen der Spektraldichte

Inkonsistente Schätzungen

Man k​ann das Periodogramm umformen in

${\displaystyle I_{n}(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k=-(n-1)}^{n-1}e^{-i\lambda k}{\hat {\gamma }}(k);\ {\hat {\gamma }}(k)={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n-k}x_{t+k}x_{t}}$.

${\displaystyle I_{n}(\lambda )}$ erweist sich also als die (empirische) Fouriertransformierte der empirischen Kovarianzfunktion ${\displaystyle {\hat {\gamma }}(k)}$. Da ${\displaystyle f(\lambda )}$ die Fouriertransformierte von ${\displaystyle \gamma (h)}$ ist, kann man heuristisch erwarten, dass ${\displaystyle I_{n}(\lambda )}$ eine geeignete Schätzung für ${\displaystyle f(\lambda )}$ darstellt. Tatsächlich ist das Periodogramm eine asymptotisch erwartungstreue Schätzung der Spektraldichte, allerdings ist sie nicht konsistent,[2] d. h. in unmodifizierter Form nur eingeschränkt geeignet zur Schätzung der Spektraldichte.

Konsistente Schätzungen

Erwartungstreue und konsistente Schätzungen für ${\displaystyle f(\lambda )}$ erzeugt man durch geeignete gewichtete Mittel von ${\displaystyle I_{n}(\lambda ^{\prime })}$ aus einer geeigneten Umgebung von ${\displaystyle \lambda }$.[3] Eine allgemeine Darstellung dafür ist

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(\lambda )={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }W_{n}(\nu )I_{n}(\lambda -\nu )d\nu }$

mit geeignetem Spektralfenster ${\displaystyle W_{n}}$. In der Regel wird obiges ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(\lambda )}$ diskret erzeugt als Summe, und zwar für die sogenannten Fourierfrequenzen ${\displaystyle \lambda _{j}={\frac {2\pi }{n}}j}$, wobei ${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$ so gewählt ist, dass ${\displaystyle -\pi <\lambda _{j}<\pi }$ gilt. Dann hat man die Struktur

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(\lambda _{j})=\sum _{|k_{n}|\leq m(n)}a_{k_{n}}I_{n}(\lambda _{j+k_{n}})}$.

Wenn die ${\displaystyle a_{k_{n}}}$ und ${\displaystyle m(n)}$ folgende Eigenschaften haben, erzwingt man Konsistenz:[4]

${\displaystyle a_{k_{n}}\geq 0;\ a_{k_{n}}=a_{-k_{n}};\ \sum _{|k_{n}|\leq m(n)}a_{k_{n}}=1;\ \lim _{n\to \infty }\sum _{|k_{n}|\leq m(n)}a_{k_{n}}^{2}=0;\ \lim _{n\to \infty }m(n)=\infty$ ;\ \lim _{n\to \infty }{\frac {m(n)}{n}}=0} .

Die Gewichte ${\displaystyle a_{k_{n}}}$ werden in der Regel durch symmetrische Kernfunktionen ${\displaystyle K\colon [-1,1]\to [0,\infty )}$ mit ${\displaystyle \int _{-1}^{1}K^{2}(x)dx<\infty }$ erzeugt gemäß:[5]

${\displaystyle a_{k_{n}}={\frac {K({\frac {k_{n}}{m(n)}})}{\sum _{i=-m(n)}^{m(n)}K({\frac {i}{m(n)}})}};\ \ -m(n)\leq k_{n}\leq m(n)}$.

Beispiele

siehe z. B.[5] Vereinfacht schreiben wir jetzt ${\displaystyle k}$ und ${\displaystyle m}$ anstatt ${\displaystyle k_{n}}$ und ${\displaystyle m(n)}$.

• Abgeschnittenes Periodogramm, erzeugt durch den Rechteckkern ${\displaystyle K(x)=\chi _{[-1,1]}(x)}$. Dabei ist ${\displaystyle \chi _{[-1,1]}}$ die Indikatorfunktion. Es ist also ${\displaystyle a_{k}=1}$ für ${\displaystyle k\leq m}$ und ${\displaystyle a_{k}=0}$ sonst.
• Bartlett-Schätzung, erzeugt durch den Dreieck-Kern ${\displaystyle K(x)=\max(1-|x|,0)}$, es ist ${\displaystyle a_{k}={\frac {m-|k|}{m^{2}}}}$ für ${\displaystyle k\leq m}$ und ${\displaystyle a_{k}=0}$ sonst.
• Parzenschätzung, erzeugt durch einen komplizierteren Kern, der eine günstige asymptotische Varianz liefert:

${\displaystyle K(x)={\begin{cases}1-6|x|^{2}+6|x|^{3}&{\text{wenn}}\ |x|<{\frac {1}{2}}\\2(1-|x|)^{3}&{\text{wenn}}\ {\frac {1}{2}}\leq |x|\leq 1\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}$.

Einzelnachweise

1. A. Schuster: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena. In: Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity. 3, 1898, S. 13–41, doi:10.1029/TM003i001p00013.
2. J. Anděl: Statistische Analyse von Zeitreihen. Akademie-Verlag, Berlin 1984.
3. U. Grenander, M. Rosenblatt: Statistical Analysis of Stationary Time Series. Wiley 1957. (Reprint: American Mathematical Society, 2008) full text
4. E. Parzen: Mathematical Considerations in the Estimation of Spectra. In: Technometrics. Vol. 3, 1961, S. 167–190, doi:10.1080/00401706.1961.10489939, JSTOR 1266111.
5. P. J. Brockwell and R. A. Davis: Time Series: Theory and Methods. Springer 1987 (jüngste Auflage 2009)