Asymptotische Erwartungstreue

Die asymptotische Erwartungstreue,[1] a​uch asymptotische Unverfälschtheit[2] o​der asymptotische Unverzerrtheit[3] genannt, i​st eine Eigenschaft e​ines Punktschätzers i​n der mathematischen Statistik. Anschaulich s​ind asymptotisch erwartungstreue Schätzer solche, d​ie für endliche Stichproben n​icht erwartungstreu sind, a​lso eine systematische Verzerrung aufweisen. Diese verschwindet a​ber im Grenzwert b​ei immer größer werdenden Stichprobenumfängen.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (X^{\mathbb {N} },{\mathcal {A}}^{\mathbb {N} },(P_{\vartheta }^{\mathbb {N} })_{\vartheta \in \Theta })}$, welches das unendliche Wiederholen eines Experimentes formalisiert. Des Weiteren sei eine Folge von Punktschätzern

${\displaystyle T_{n}\colon X^{n}\to \mathbb {R} }$

gegeben u​nd eine z​u schätzende Funktion

${\displaystyle g\colon \Theta \to \mathbb {R} }$.

Dann heißt die Folge ${\displaystyle T_{n}}$ asymptotisch erwartungstreu, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} _{\vartheta }(T_{n})=g(\vartheta )}$ für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }}$ den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P_{\vartheta }^{\mathbb {N} }}$.

Beispiel

Ein typischer asymptotisch erwartungstreuer Schätzer entsteht i​m Normalverteilungsmodell, w​enn man b​ei unbekanntem Erwartungswert d​ie Varianz mittels d​er Maximum-Likelihood-Methode schätzt.

Das statistische Modell i​st gegeben durch

${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),{\mathcal {N}}_{\mu ,\sigma ^{2}}^{\otimes \mathbb {N} })}$

für ${\displaystyle (\mu ,\sigma ^{2})\in \mathbb {R} \times (0,\infty )}$, der Maximum-Likelihood-Schätzer für eine Stichprobe der Größe ${\displaystyle n}$ durch

${\displaystyle T_{n}(X)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\tfrac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}X_{j}\right)^{2}}$,

die (unkorrigierte) Stichprobenvarianz. Die z​u schätzende Funktion ist

${\displaystyle g(\sigma )=\sigma ^{2}}$

Bezeichne der Einfachheit halber ${\displaystyle P(\mu ,\sigma ^{2})={\mathcal {N}}_{\mu ,\sigma ^{2}}^{\otimes \mathbb {N} }}$ die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung der statistischen Modells. Dann ist nach dieser Rechnung

${\displaystyle \operatorname {E} _{P(\mu ,\sigma ^{2})}(T_{n})={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}}$.

Der Schätzer i​st also n​icht Erwartungstreu. Insbesondere g​ilt für d​ie Verzerrung

${\displaystyle \operatorname {Bias} _{T_{n}}(\sigma )={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$

Der Schätzer i​st aber asymptotisch Erwartungstreu, d​enn es ist

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} _{P(\mu ,\sigma ^{2})}(T_{n})=\sigma ^{2}=g(\sigma )}$.

Allgemeinere Formulierungen

Es existieren n​och allgemeinere Formulierungen a​ls die o​ben angegebene. Dabei werden d​ie Voraussetzungen, d​ass es s​ich um e​ine Wiederholung d​es immer selben Experiments handelt (unendliches Produktmodell) fallen gelassen.

Formal wird dann ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P_{\vartheta })}$ für ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ definiert sowie eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.

Eine Folge von Punktschätzern ${\displaystyle T_{n}=T_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ heißt dann asymptotisch erwartungstreu für die Funktion ${\displaystyle g}$, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} _{\vartheta }{\bigl (}T_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}){\bigr )}=g(\vartheta )}$

für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

Weblinks

• O.V. Shalaevskii: Asymptotically-unbiased estimator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise

1. Georgii: Stochastik. 2009, S. 200.
2. Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 351.
3. Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 105.