Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse

Die Spektraldarstellung stationärer stochastischer Prozesse i​st in gewissem Sinne e​in Analogon z​ur Fourierreihenentwicklung e​iner Funktion. Jede beschränkte stetige Funktion k​ann als additive Überlagerung harmonischer Schwingungen dargestellt werden. Auch e​in stationärer stochastischer Prozess k​ann dargestellt werden a​ls additive Überlagerung harmonischer Schwingungen, allerdings m​it zufälliger Amplitude. Die Spektraldarstellung e​ines stationären Prozesses bietet i​n der Regel tiefere Einblicke i​n die Struktur d​es Prozesses, insbesondere w​enn es s​ich um e​ine Mischung verschiedener periodischer Anteile handelt.

Mathematische Beschreibung

Sei ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ die Menge der ganzen Zahlen und ${\displaystyle X_{t};\ t\in \mathbb {Z} }$ ein zeitdiskreter stationärer stochastischer Prozess mit Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}=0}$ und Kovarianzfunktion ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{t},X_{t+h})=\Gamma (t,t+h)}$, die wegen der Stationarität nur von der Differenz der Zeitpunkte abhängt, also nur die Funktion einer Variablen ist:${\displaystyle \Gamma (t,t+h)=:\gamma (h)}$.

Spektraldarstellung von ${\displaystyle X_{t}}$

Jeder stationäre Prozess ${\displaystyle X_{t}}$ mit ${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}=0}$ hat die sogenannte Spektraldarstellung[1][2]

${\displaystyle X_{t}=\int _{-\pi }^{\pi }e^{it\lambda }dZ(\lambda )}$.

Dies ist ein stochastisches Integral, und zwar bzgl. eines Prozesses ${\displaystyle Z(\lambda )}$ mit unkorrelierten Zuwächsen, d. h. für ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\lambda _{4}}$ sind die Zuwächse ${\displaystyle Y(\lambda _{2})-Y(\lambda _{1})}$ und ${\displaystyle Y(\lambda _{4})-Y(\lambda _{3})}$ unkorreliert.

Wenn ${\displaystyle Z(\lambda )}$ nur endlich viele Zuwächse hat, z. B. ${\displaystyle n}$ Zuwächse ${\displaystyle A(\lambda _{1}),\dots ,A(\lambda _{n})}$ bei ${\displaystyle -\pi <\lambda _{1}<\dots <\lambda _{n}<\pi }$, dann kann obiges Integral als Summe geschrieben werden:

${\displaystyle X_{t}=\sum _{k=1}^{n}A(\lambda _{k})e^{it\lambda _{k}}}$.

Jeder Summand ist eine harmonische Schwingung mit Frequenz ${\displaystyle \lambda _{k}}$ und der zufälligen Amplitude ${\displaystyle A(\lambda _{k})}$.

Spektraldarstellung der Kovarianzfunktion

Die Kovarianzfunktion ${\displaystyle \gamma (h)}$ ist eine symmetrische und positiv semidefinite Funktion und hat damit nach dem Satz von Bochner (in diskreter Variante als Satz von Herglotz bezeichnet) die Darstellung[1][2]

${\displaystyle \gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }e^{ih\lambda }dF(\lambda )}$.

Dabei heißt ${\displaystyle F}$ Spektralverteilungsfunktion. Sie ist auf ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ monoton nicht fallend und es gilt ${\displaystyle F(-\pi )=0;\ F(\pi )=\gamma (0)=\operatorname {Var} X_{t}}$. Die Beziehung

${\displaystyle \operatorname {E} |Z(\lambda _{2}]-Z(\lambda _{1})|^{2}=F(\lambda _{2})-F(\lambda _{1});\ \lambda _{2}\geq \lambda _{1}}$

stellt die Verbindung zwischen der Spektraldarstellung von ${\displaystyle X_{t}}$ und der Spektraldarstellung von ${\displaystyle \gamma (h)}$ dar.

Spektraldichte

Wenn ${\displaystyle \sum _{h=-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|<\infty }$, dann kann die Spektraldarstellung von ${\displaystyle \gamma (h)}$ als Riemannsches Integral geschrieben werden:

${\displaystyle \gamma (h)=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )e^{ih\lambda }d\lambda }$.

Die Funktion ${\displaystyle f}$ heißt Spektraldichte von ${\displaystyle X_{t}}$. Anschaulich gesprochen gibt ${\displaystyle f(\lambda )}$ an, mit welcher Intensität die Frequenz ${\displaystyle \lambda }$ im Spektrum von ${\displaystyle X_{t}}$ vorkommt. Die Spektraldichte selbst hat die Darstellung

${\displaystyle f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{h=-\infty }^{\infty }e^{-ih\lambda }\gamma (h)}$.

${\displaystyle f}$ ist also die Fouriertransformierte von ${\displaystyle \gamma }$, bzw. ${\displaystyle \gamma }$ ist die inverse Fouriertransformierte von ${\displaystyle f}$. Für ${\displaystyle h=0}$ gilt speziell

${\displaystyle \gamma (0)=\operatorname {Var} X_{t}=\int _{-\pi }^{\pi }f(\lambda )d\lambda }$.

Dies kann als Streuungszerlegung (signaltechnisch Leistungsverteilung) auf die verschiedenen Frequenzen ${\displaystyle \lambda }$ interpretiert werden.

Zeitstetiger Fall

Sei nun ${\displaystyle X_{t}}$ ein stationärer Prozess mit reellwertigem ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Dann modifizieren sich obige Formeln zu:[3]

${\displaystyle X_{t}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dZ(\lambda );\ \ \gamma (h)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda h}dF(\lambda )}$.

Dabei ist ${\displaystyle Z(\lambda )}$ wiederum ein stochastischer Prozess mit unkorrelierten Zuwächsen. Falls ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\gamma (h)|dh<\infty }$, dann hat die Spektralverteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ eine Spektraldichte ${\displaystyle f}$, und es gilt:

${\displaystyle \gamma (h)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda h}f(\lambda )d\lambda ;\ \ f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\gamma (h)e^{-ih\lambda }dh}$.

Beispiele

• Ein stationärer Prozess ${\displaystyle X_{t}}$ mit der häufig benutzten Kovarianzfunktion ${\displaystyle \gamma (h)=\sigma ^{2}e^{-\alpha |h|}}$ hat die Spektraldichte ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {\sigma ^{2}\alpha }{\pi (\lambda ^{2}+\alpha ^{2})}}}$.
• Weißes Rauschen hat die Kovarianzfunktion ${\displaystyle \gamma (h)={\begin{cases}\sigma ^{2}&{\text{wenn }}h=0\\0&{\text{sonst }}\end{cases}}\ }$ und die Spektraldichte ${\displaystyle f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\sigma ^{2}}$.

Die Spektraldichte ist also konstant. Alle Frequenzen sind gleichstark im Spektrum vertreten (Analogie zum weißen Licht).

Anwendungen

Spektraldarstellungen benötigt m​an in d​er Zeitreihenanalyse, i​n der Signalverarbeitung (siehe z. B. a​uch Spektrale Leistungsdichte), b​ei der Konstruktion geeigneter Filter (beispielsweise Tiefpass, Hochpass o​der Bandpass).

Besonders wichtig i​n den Anwendungen s​ind geeignete Methoden z​ur Spektraldichteschätzung.

Einzelnachweise

1. J.L.Doob: Stochastic Processes, Wiley 1953
2. A.M.Jaglom, Einführung in die Theorie der stationären Zufallsfunktionen, Berlin Akademieverlag 1959 (engl.: An introduction to the theory of stationary random functions, Prentice Hall 1962, Dover 2004)
3. Teubner-Taschenbuch der Mathematik (Herausgeber E. Zeidler), Teubner 1996, S. 1083