Periodogramm

Das Periodogramm ist ein Schätzer für die spektrale Leistungsdichte eines Signals. Gesucht ist also eine Funktion ${\displaystyle P\left(\omega \right)}$, welche die Verteilung der Leistung (oder Energie) des Signals auf die Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ angibt. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt.[1] Die Methode wird eingesetzt in der Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Physik und Ökonometrie. Ein wichtiges Beispiel sind Spektrum-Analysatoren.

Im mathematischen Sinn i​st das Periodogramm e​in nicht konsistenter Schätzer, s​iehe auch Spektraldichteschätzung.

Ein Leistungsdichtespektrum (Amplitudenquadrat) zweier Sinus-Basisfunktionen als Funktion der Frequenz.

Kontext und Konventionen

In der Regel sind nur Abtastwerte des Signals ${\displaystyle f\left(t\right)}$ zu diskreten Zeitpunkten ${\displaystyle t_{n}=nT}$ mit konstanter Abtastdauer ${\displaystyle T}$ gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf ${\displaystyle N}$ Abtastwerte, z. B. ${\displaystyle f\left(t_{n}\right)}$ mit ${\displaystyle 0\leq n<N}$, d. h. auf ein Zeitintervall der Dauer ${\displaystyle NT}$.

Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine diskrete Fourier-Transformation. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf ein Zeitintervall der Dauer ${\displaystyle NT}$ lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion ${\displaystyle w\left(t\right)}$. Im einfachsten Fall ist ${\displaystyle w\left(t\right)}$ eine Rechteckfunktion der Breite ${\displaystyle NT}$.

Um Artefakte i​m Spektrum (aufgrund d​er Unstetigkeiten d​es Rechteckfensters) z​u verringern, werden jedoch i​n der Regel Fenster m​it langsameren Änderungen u​nd eigenen Bezeichnungen verwendet, z. B. d​as Parzen-Fenster o​der das „Welch-Fenster“. Man spricht d​ann von e​inem modifizierten Periodogramm.[2]

Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals ${\displaystyle f\left(t\right)w\left(t\right)}$ wird die Schreibweise ${\displaystyle F^{\left(w\right)}\left(\omega _{m}\right)=\sum \limits _{n}f\left(t_{n}\right)w\left(t_{n}\right)e^{i\omega _{m}t_{n}}}$ verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen ${\displaystyle \omega _{m}=2\pi m/(NT)}$ mit ${\displaystyle 0\leq m<N}$ zulässig.

Definition

Das Periodogramm i​st definiert gemäß

${\displaystyle P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)^{2}}}.}$

In Übereinstimmung mit dem Abtasttheorem ist das Periodogramm ${\displaystyle 2\pi /T}$-periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall (Brillouin-Zone) ${\displaystyle 0\leq \omega \leq 2\pi /T}$ oder ${\displaystyle -\pi /T\leq \omega \leq \pi /T}$.

Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{n}\left|f\left(t_{n}\right)\right|^{2}}$ (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von ${\displaystyle P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)}$ bestmöglich mit ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$ übereinstimmt.

Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert ${\displaystyle A}$ hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (Fullscale). Das Maximum wird für monochromatische Signale ${\displaystyle f=Ae^{-i\omega t}}$ erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist

${\displaystyle P_{FS}^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{\left(\sum _{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)\right)^{2}}}.}$

Beispiele

Weißes Rauschen

Es sei ${\displaystyle f\left(t\right)}$ ein weißes Rauschen mit Varianz ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$, ${\displaystyle \left\langle f\left(t_{m}\right)f^{*}\left(t_{n}\right)\right\rangle =\delta _{m,n}\left\langle A^{2}\right\rangle }$. Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der Fourier-Transformierten ist dann

${\displaystyle \left\langle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}\right\rangle =\left\langle A^{2}\right\rangle \sum \limits _{m,n}e^{i\omega \left(t_{m}-t_{n}\right)}\delta _{m,n}w\left(t_{m}\right)w\left(t_{n}\right)=\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{n}w\left(t_{n}\right)^{2}.}$

Das Periodogramm hat den Mittelwert ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$, und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.

Konstantes Signal

Für den Frequenz-Mittelwert von ${\displaystyle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}$ lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist

${\displaystyle \sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=\sum _{\omega }\sum \limits _{t,t'}e^{i\omega \left(t-t'\right)}f\left(t\right)w\left(t\right)f^{*}\left(t'\right)w\left(t'\right)=N\sum _{t}\left|f\left(t\right)\right|^{2}w^{2}\left(t\right).}$

Für konstantes Signal ${\displaystyle f\left(t\right)=A}$ wird

${\displaystyle \sum _{\omega }\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}=N\left\langle A^{2}\right\rangle \sum _{t}w^{2}\left(t\right).}$

Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von ${\displaystyle N}$) ebenfalls ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$. Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz ${\displaystyle 0}$. Mit wachsendem ${\displaystyle N}$ wird dieser Peak höher und schmäler.

Rechteck-Fenster

Im Fall eines Rechteck-Fensters ${\displaystyle w=1}$ gilt die Parseval-Gleichung ${\displaystyle \sum _{\omega }\left|F\left(\omega \right)\right|^{2}=N^{2}\left\langle A^{2}\right\rangle }$. Durch Division durch ${\displaystyle N^{2}}$ folgt der Mittelwert des Periodogramms ${\displaystyle \sum _{\omega }P\left(\omega \right)/N=\left\langle A^{2}\right\rangle }$. Dieser Wert ist von ${\displaystyle N}$ unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat ${\displaystyle \left\langle A^{2}\right\rangle }$ gilt.

Einschränkungen und Verbesserungen

Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge ${\displaystyle N}$, die Werte werden dabei jedoch nicht genauer. Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude ${\displaystyle A}$ bleibt die Varianz der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung ${\displaystyle A^{4}}$.[3] Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.[2]

Kontinuierliches Signal

Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal ${\displaystyle f(t)}$ ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion

${\displaystyle F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f\left(t\right)w\left(t\right)e^{i\omega t}dt.}$

Das Periodogramm ist

${\displaystyle P^{\left(w\right)}\left(\omega \right)={\frac {\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega \right)\right|^{2}}{T\int _{-\infty }^{\infty }w^{2}\left(t\right)dt}}.}$

Wie beim abgetasteten Signal bleibt die Standardabweichung der Periodogramm-Werte bei wachsender Zeitreihenlänge ${\displaystyle T}$ im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.

Einzelnachweise

1. Schuster, Arthur: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena, Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity, 3, S. 13–41, 1898
2. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Michael Metcalf: Numerical Recipes in C. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43108-5.
3. Monson H. Hayes: Statistical Digital Signal Processing and Modeling. John Wiley & sons, inc., 1996, ISBN 978-0-471-59431-4.