Satz von Tietze (Konvexgeometrie)

In d​er Konvexgeometrie, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik, i​st der Satz v​on Tietze e​iner derjenigen Lehrsätze, welche s​ich mit d​er Frage d​er Charakterisierung d​er Konvexität v​on Teilmengen d​es euklidischen Raums u​nd (allgemeiner) d​er reellen linearen Hausdorffräume m​it Hilfe lokaler Stützeigenschaften befassen. Der Satz i​st damit angesiedelt i​m Übergangsfeld zwischen Geometrie u​nd der Theorie d​er topologischen Vektorräume. Er g​eht wesentlich a​uf eine wissenschaftliche Arbeit d​es Mathematikers Heinrich Tietze a​us dem Jahr 1929 zurück.[1][2]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt s​ich zusammengefasst w​ie folgt formulieren:[3][4]

Ist ein hausdorffscher topologischer ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ gegeben und ist ${\displaystyle U\subseteq X}$ eine darin enthaltene offene und zusammenhängende Teilmenge, die in jedem ihrer Randpunkte lokal schwach gestützt wird, so ist ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle X}$ konvex. Dies gilt insbesondere für den Fall, dass ${\displaystyle X}$ der ${\displaystyle n}$-dimensionale euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ ist.

Verwandte Resultate

Dem Satz v​on Tietze g​ing ein Satz voraus, welcher v​on einer Reihe bedeutender Mathematiker bewiesen wurde, n​icht zuletzt v​on Constantin Carathéodory i​m Jahre 1907 s​owie von Hermann Brunn bzw. Hermann Minkowski i​m Jahre 1910. Er lässt s​ich folgendermaßen formulieren:[5]

Ist ein hausdorffscher topologischer ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle X}$ gegeben und ist ${\displaystyle A\subseteq X}$ eine darin enthaltene abgeschlossene Teilmenge mit mindestens einem inneren Punkt ${\displaystyle x\in A^{\circ }}$, so ist die Teilmenge ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle X}$ genau dann konvex, wenn durch jeden ihrer Randpunkte eine Stützhyperebene von ${\displaystyle A}$ geht.

In d​er Differentialgeometrie i​st ein anderer Satz bekannt, d​er von Jacques Hadamard i​m Jahre 1897 vorgelegt wurde:[6]

Eine Eifläche ${\displaystyle M}$ im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ist streng konvex in dem Sinne, dass für jeden darin enthaltenen Raumpunkt ${\displaystyle p\in M}$ die Fläche ${\displaystyle M}$ ganz auf einer Seite der bei ${\displaystyle p}$ anliegenden Tangentialebene ${\displaystyle T_{p}{M}}$ gelegen ist.[7]

Erläuterungen

• Der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ wird wie üblich als mit dem Standardskalarprodukt (sowie der damit gegebenen geometrischen und metrischen Struktur) und insbesondere als mit der euklidischen Abstandsfunktion versehen betrachtet.
• In Bezug auf einen (hausdorffschen) topologischen Vektorraum ${\displaystyle X}$, eine darin liegende Teilmenge ${\displaystyle T\subseteq X}$ und einen ${\displaystyle T}$-Randpunkt ${\displaystyle x\in \partial {T}}$ sagt man, ${\displaystyle T}$ werde in ${\displaystyle x}$ lokal schwach gestützt, wenn es eine Umgebung ${\displaystyle U(x)}$ von ${\displaystyle x}$ gibt sowie ein nicht mit dem Nullfunktional identisches lineares Funktional ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$, so dass Folgendes gilt: Aus ${\displaystyle y\in U(x)\setminus \{x\}}$ und ${\displaystyle f(y)>f(x)}$ folgt stets ${\displaystyle y\not \in T}$.
• Eine im dreidimensionalen euklidischen Raums gelegene Teilmenge ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ist eine Eifläche, wenn sie dort eine kompakte reguläre Fläche ist und in jedem ihrer Punkte positive gaußsche Krümmung hat. Der Begriff geht auf Wilhelm Blaschke zurück.
• Jede Tangentialebene ${\displaystyle T_{p}{M}}$ an einen Punkt ${\displaystyle p}$ einer regulären Fläche ${\displaystyle M}$ ist eine Hyperebene des dreidimensionalen euklidischen Raums.
• Zu einer Hyperebene ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} ^{3}}$ gehört die Überdeckung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ durch die beiden zugehörigen abgeschlossenen Halbräume, die so beschaffen ist, dass jeder Raumpunkt in einem der beiden liegt. Ist hier eine gegebene Teilmenge ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} ^{3}}$ entweder Teilmenge des einen oder aber Teilmenge des anderen, so sagt man, ${\displaystyle T}$ sei ganz auf einer Seite der Hyperebene gelegen.

Literatur

• H. Brunn: Zur Theorie der Eigebiete. In: Archiv der Mathematik und Physik. Band 17, 1910, S. 289–300.
• C. Carathéodory: Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen. In: Mathematische Annalen. Band 64, 1907, S. 95–115 (MR1511425).
• J. Hadamard: Sur certaines propriétés des trajectoires en dynamique. In: Journal de mathématiques pures et appliquées (5). Band 3, 1897, S. 331–387.
• Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 107). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1973 (MR0415512).
• Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2 (MR0655598).
• Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, Berlin: 1910, S. 1–256 ().
• Heinrich Tietze: Bemerkungen über konvexe und nicht-konvexe Figuren. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 160, 1929, S. 67–69 (MR1581176).
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495).

Einzelnachweise

1. Frederick A. Valentine: Convex Sets. 1964, S. 57–66
2. Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. 1982, S. 104–115
3. Valentine, op. cit., S. 63
4. Lay, op. cit., S. 110
5. Valentine, op. cit., S. 57
6. Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie. 1973, S. 100
7. Gemäß der Darstellung in Klingenbergs Eine Vorlesung über Differentialgeometrie. bewies Hadamard sogar mehr und insbesondere, dass jede Eifläche im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ eine orientierbare ${\displaystyle 2}$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist.