Punktetrennende Menge

Eine punktetrennende Menge[1] i​st in d​er Mathematik e​ine Menge v​on Funktionen a​uf einem gegebenen Raum, sodass s​ich je z​wei Punkte d​es Raumes anhand i​hrer Funktionswerte bzgl. dieser Funktionen unterscheiden lassen. Der Begriff findet Anwendung i​n der allgemeinen Topologie u​nd der Funktionalanalysis.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ eine Menge. Eine Menge ${\displaystyle H}$ von Funktionen mit Definitionsbereich ${\displaystyle X}$ heißt punktetrennend, wenn für je zwei Elemente ${\displaystyle a,b\in X}$ mit ${\displaystyle a\neq b}$ eine Funktion ${\displaystyle f\in H}$ existiert, sodass ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$.[2]

Verwendung

Sei wiederum ${\displaystyle X}$ eine Menge und ${\displaystyle H}$ eine Menge von Funktionen auf ${\displaystyle X}$. Nun lässt sich die Auswertungsabbildung

${\displaystyle e\colon X\to \prod _{f\in H}\operatorname {codom} (f)}$

durch ${\displaystyle e(x)_{f}=f(x)}$ definieren (${\displaystyle \operatorname {codom} (f)}$ sei dabei die Zielmenge von ${\displaystyle f}$). Diese ist genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle H}$ punktetrennend ist.[3]

Ist ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle H}$ die Menge aller ${\displaystyle [0,1]}$-wertigen stetigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$, so ist der Abschluss des Bildes von ${\displaystyle e}$ die Stone-Čech-Kompaktifizierung von ${\displaystyle X}$. Ist ${\displaystyle H}$ punktetrennend (das heißt ${\displaystyle X}$ ist vollständiger Hausdorff-Raum), so liefert ${\displaystyle e}$ also eine Identifizierung der Menge ${\displaystyle X}$ mit einer Teilmenge der Stone-Čech-Kompaktifizierung.[4]

Sei allgemeiner ${\displaystyle H}$ eine beliebige Menge von Funktionen auf ${\displaystyle X}$ in topologische Räume. Die Auswertungsabbildung ist genau dann eine Einbettung, wenn ${\displaystyle X}$ die Initialtopologie bezüglich ${\displaystyle H}$ trägt und ${\displaystyle H}$ punktetrennend ist. Diese Initialtopologie heißt auch schwache Topologie bezüglich ${\displaystyle H}$, insbesondere in der Funktionalanalysis, wenn ${\displaystyle H}$ eine Menge linearer Funktionale auf einem Vektorraum ${\displaystyle X}$ ist. Ist der Zielraum jeder Funktion in ${\displaystyle H}$ ein Hausdorffraum, so ist die schwache Topologie bezüglich ${\displaystyle H}$ genau dann hausdorffsch, wenn ${\displaystyle H}$ punktetrennend ist. Ist ${\displaystyle H}$ eine Menge von linearen Funktionalen auf einem Vektorraum, lassen sich die Punktetrennung und somit die Hausdorffeigenschaft der schwachen Topologie durch die Bedingung charakterisieren, dass

${\displaystyle \bigcap _{f\in H}\ker(f)=\{0\}}$

gilt. Insbesondere f​olgt aus d​em Satz v​on Hahn-Banach, d​ass die Menge a​ller stetigen linearen Funktionale a​uf einem lokalkonvexen Hausdorffraum punktetrennend u​nd somit d​ie schwache Topologie a​uf einem solchen Raum hausdorffsch ist.[5]

Der Satz von Stone-Weierstraß liefert, dass eine Unteralgebra der Algebra der ${\displaystyle C_{0}}$-Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ genau dann dicht in ${\displaystyle C_{0}(X)}$ liegt, wenn sie punktetrennend ist und keinen Punkt stets auf die ${\displaystyle 0}$ abbildet.

Einzelnachweise

1. Punktetrennende Menge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Band ?. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8, S. ?.
2. Nicolas Bourbaki: Topologie Générale (= Éléments de mathématique). Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-33936-1, Kap. 9, S. 9.
3. Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, 1970, S. 56.
4. Bourbaki: Topologie Générale. S. 10.
5. Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 60, 63.