Alexandroff-Kompaktifizierung

Im mathematischen Teilgebiet d​er Topologie bezeichnet d​ie Alexandroff-Kompaktifizierung (auch Einpunkt-Kompaktifizierung) e​ine Einbettung e​ines nicht kompakten topologischen Raumes i​n einen kompakten topologischen Raum d​urch Hinzunahme e​ines einzelnen Punktes. Diese Kompaktifizierung i​st nach d​em russischen Mathematiker Paul Alexandroff benannt. Er u​nd Heinrich Tietze erkannten 1924 unabhängig voneinander, d​ass sich d​ie aus d​er Funktionentheorie stammende Konstruktion d​er riemannschen Zahlenkugel z​u dieser Kompaktifizierung verallgemeinern lässt.[1][2] Sie i​st für lokalkompakte Hausdorff-Räume b​is auf Homöomorphie eindeutig bestimmt.

Definition

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle \infty }$ ein Element, das nicht aus ${\displaystyle X}$ stammt. Zudem sei die Menge ${\displaystyle X^{*}:=X\cup \{\infty \}}$ mit der Topologie

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}:={\mathcal {T}}\cup \{X^{*}\setminus A\mid A\subseteq X,A{\text{ ist abgeschlossen und kompakt in }}(X,{\mathcal {T}})\}}$

ausgestattet. Dann ist ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ ein kompakter Raum, der ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})=(X,{\mathcal {T}}_{X^{*}}^{*})}$ als offenen Teilraum enthält. Die Kompaktifizierung ist durch die kanonische Injektion

${\displaystyle \iota \colon X\to X^{*},\quad \iota (x):=x}$

gegeben.[3] Oft nennt man anstelle von ${\displaystyle \iota }$ auch den Raum ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ die Alexandroff-Kompaktifizierung von ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$, vorausgesetzt es handelt sich bei ${\displaystyle X}$ um eine dichte Teilmenge von ${\displaystyle X^{*}}$.

Der Punkt ${\displaystyle \infty }$ wird zuweilen auch als unendlich fern[4] bezeichnet.

Eigenschaften

Obige Konstruktion existiert für beliebige topologische Räume ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$. Sie liefert jedoch nur für Räume, die selbst noch nicht kompakt sind, tatsächlich eine Kompaktifizierung: Ist ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ der nach der vorangehenden Definition gebildete topologische Raum, so ist die Einpunktmenge ${\displaystyle \{\infty \}}$ offen, falls man ${\displaystyle X}$ als kompakt voraussetzt. In diesem Fall liegt ${\displaystyle X=\iota (X)}$ nicht dicht in ${\displaystyle X^{*}}$ und die Injektion ${\displaystyle \iota }$ liefert folglich keine Kompaktifizierung.

Es ist von Vorteil, wenn eine Kompaktifizierung die Trennungseigenschaften eines topologischen Raumes erhält. So erhält die Alexandroff-Kompaktifizierung z. B. das T₁-Axiom.[5] Die Hausdorff-Eigenschaft wird jedoch nur erhalten, wenn zusätzlich ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ als lokalkompakt vorausgesetzt ist. Dann ist aber die Alexandroff-Kompaktifizierung im folgenden Sinne eindeutig bestimmt:

Seien ${\displaystyle (X_{1},{\mathcal {T}}_{1})}$ und ${\displaystyle (X_{2},{\mathcal {T}}_{2})}$ kompakte Hausdorff-Räume und zudem ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein (lokalkompakter) Teilraum derselben, wobei ${\displaystyle X_{1}\setminus X=\{\infty _{1}\}}$ und ${\displaystyle X_{2}\setminus X=\{\infty _{2}\}}$ gelte, so sind ${\displaystyle (X_{1},{\mathcal {T}}_{1})}$ und ${\displaystyle (X_{2},{\mathcal {T}}_{2})}$ homöomorph.

Beispiele

• Die projektive Erweiterung der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R^{*}}$ :=\mathbb {R} \cup \{\infty \}} ist, zusammen mit der entsprechend erweiterten Topologie, eine Alexandroff-Kompaktifizierung des lokalkompakten Raumes der reellen Zahlen mit euklidischer Topologie ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Sie ist homöomorph zur Kreislinie ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$.
• Die riemannsche Zahlenkugel ${\displaystyle \mathbb {C^{*}}$ :=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} ist, ähnlich zum vorangehenden Beispiel, eine Alexandroff-Kompaktifizierung, durch welche man eine Homöomorphie zur Sphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ erhält.[6]
• Allgemeiner ist für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die Alexandroff-Kompaktifizierung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit euklidischer Topologie homöomorph zur Einheitssphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$.[7]
• Ist ${\displaystyle X}$ ein nicht kompakter aber lokalkompakter Hausdorff-Raum, so ist die Banachalgebra der stetigen Funktionen auf seiner Alexandroff-Kompaktifizierung ${\displaystyle C(X^{*})}$ isomorph zur Algebra ${\displaystyle {\widetilde {C_{0}(X)}}}$ der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle X}$, die im Unendlichen verschwinden, nach Adjunktion eines Einselementes.[8]

Mehrpunkt-Kompaktifizierungen

Bettet man einen topologischen Raum in einen kompakten Raum ein, der endlich viele Punkte mehr enthält, so spricht man von einer Mehrpunkt-Kompaktifizierung oder im Falle von ${\displaystyle N}$ zusätzlichen Punkten auch von einer ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierung.[9] Diese Idee lässt sich weiter zu abzählbaren Kompaktifizierungen verallgemeinern.[10]

Definition

Sei ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,N\geq 1}$ und ${\displaystyle (X,\tau )}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ein kompakter Raum. Eine Kompaktifizierung

${\displaystyle \iota \colon X\to Y}$

heißt ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierung von ${\displaystyle X}$, falls

${\displaystyle |Y\setminus X|=N}$

gilt.

Eigenschaften

Für topologische Räume ${\displaystyle (X,\tau )}$ sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:[9]

• Der Raum ${\displaystyle X}$ besitzt eine ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierung ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ mit Hausdorff-Eigenschaft.
• Der Raum ${\displaystyle X}$ ist ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und es existieren eine ${\displaystyle N}$-elementige Familie ${\displaystyle (V_{i})_{i=1,\dots ,n}}$ nichtleerer paarweise disjunkte Teilmengen ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{N}\in \tau }$, sodass einerseits

${\displaystyle K:=X\setminus (V_{1}\cup \cdots \cup V_{N})}$

kompakt ist und andererseits für jedes ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$ die Menge

${\displaystyle X\setminus (V_{1}\cup \cdots V_{k-1}\cup V_{k+1}\cup \cdots V_{N})=K\cup V_{k}}$

nicht mehr kompakt ist.

Falls ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierung besitzt, so besitzt ${\displaystyle X}$ insbesondere auch eine ${\displaystyle M}$-Punkt-Kompaktifizierung für alle ${\displaystyle M<N}$.

Eine ${\displaystyle N}$-elementige Familie ${\displaystyle (V_{i})_{i=1,\dots ,N}}$ im Sinne obiger Charakterisierung nennt man auch einen ${\displaystyle N}$-Stern. Jeder ${\displaystyle N}$-Stern gibt Anlass zu einer ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierung. Auf der Menge aller ${\displaystyle N}$-Sterne lässt sich wie folgt eine Äquivalenzrelation definieren:

Zwei ${\displaystyle N}$-Sterne ${\displaystyle (V_{i})_{i=1,\dots ,N}}$ und ${\displaystyle (W_{i})_{i=1,\dots ,N}}$ heißen äquivalent, falls

${\displaystyle {\big (}X\setminus (V_{1}\cup \cdots \cup V_{N}){\big )}\cap {\big (}X\setminus W_{k}{\big )}}$

kompakt ist, für alle ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$.

Es existiert eine 1-zu-1 Beziehung zwischen Äquivalenzklassen von ${\displaystyle N}$-Sternen und ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierungen.

Beispiele

• Die affine Erweiterung der reellen Zahlen ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ist gerade die Zwei-Punkt-Kompaktifizierung von ${\displaystyle \mathbb {R} }$.[11] Die reellen Zahlen besitzen nur ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierungen für ${\displaystyle N\leq 2}$.[9]

• Die komplexen Zahlen und allgemeiner der euklidische ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle n>1}$ besitzen keine ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierung für ${\displaystyle N>1}$.

• Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle N>0}$ existiert ein topologischer Raum, welcher eine ${\displaystyle N}$-Punkt-Kompaktifizierung aber keine ${\displaystyle M}$-Punkt-Kompaktifizierung für ${\displaystyle M>N}$ besitzt:

Man betrachte dazu die Strahlen

${\displaystyle L_{n}:={\big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=x\cdot n^{-1},\;x\geq 0{\big \}},\quad n=1,\dots ,N}$,

und deren Vereinigung

${\displaystyle S_{N}:=\bigcup _{n=1}^{N}L_{n}}$

als topologischen Raum mit Teilraumtopologie. Für ${\displaystyle K=\{(0,0)\}}$ gilt dann

${\displaystyle S_{N}\setminus K=\bigcup _{n=1}^{N}{\big (}L_{n}\setminus K{\big )}}$

und ${\displaystyle K\cup (L_{k}\setminus K)}$ ist für kein ${\displaystyle k=1,\dots ,N}$ kompakt.

Siehe auch

• Stone-Čech-Kompaktifizierung
• Wallman-Kompaktifizierung

Literatur

• René Bartsch: Allgemeine Topologie. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 2015, ISBN 978-3-11-040618-4.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9.

Weblinks

• Karsten Evers: Mengentheoretische Topologie. S. 83, abgerufen am 26. Dezember 2016 (Enthält unter anderem einen Satz über die Existenz von T2-Mehrpunktkompaktifizierungen).

Einzelnachweise

1. Paul Alexandroff: Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 92, Nr. 3-4, 1924, S. 294–301, doi:10.1007/BF01448011.
2. Heinrich Tietze: Beiträge zur allgemeinen Topologie. II. Über die Einführung uneigentlicher Elemente. In: Springer-Verlag (Hrsg.): Mathematische Annalen. Band 91, Nr. 3-4, 1924, S. 210–224, doi:10.1007/BF01556079.
3. René Bartsch: Allgemeine Topologie. de Gruyter, 2015, ISBN 978-3-110-40618-4, S. 183 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
4. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 110 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
5. Lynn Arthur Steen: Counterexamples in Topology. Courier Corporation, 1995, S. 63, ISBN 978-0-486-68735-3.
6. James R. Munkres: Topology. Prentice Hall, 2000, S. 185, ISBN 978-0-131-78449-9.
7. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-84064-6, S. 108 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
8. Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Springer Science & Business Media, 2008, ISBN 978-0-387-72476-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
9. K. D. Magill, Jr.: N-Point Compactifications. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): The American Mathematical Monthly. Vol. 72, Nr. 10, 1965, S. 1075–1081, doi:10.2307/2315952.
10. K. D. Magill, Jr.: Countable Compactifications. In: Canadian Mathematical Society (Hrsg.): Canadian Journal of Mathematics. Vol. 18, 1966, S. 616–620, doi:10.4153/CJM-1966-060-6.
11. K. G. Binmore: The Foundations of Topological Analysis: A Straightforward Introduction. Cambridge University Press, 1980, ISBN 978-0-521-29930-5, S. 154 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).