Satz von Lie

Der Satz von Lie, benannt nach Sophus Lie, ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der Lie-Algebren. Er sichert die Existenz eines gemeinsamen Eigenvektors für alle Elemente einer auflösbaren Lie-Algebra über einem vom Nullraum verschiedenen, endlichdimensionalen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraum und daraus ergibt sich, dass eine solche Lie-Algebra zu einer Teilalgebra der oberen Dreiecksmatrizen isomorph ist.

Bezeichnungen

In diesem Artikel sei ${\displaystyle V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Vektorraum mit Dimension ${\displaystyle \mathrm {dim} \,V\,=n>0}$. Der Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen kann durch einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 ersetzt werden, was in den folgenden Formulierungen aber unterbleibt. Eine Fahne in ${\displaystyle V}$ ist eine aufsteigende Kette ${\displaystyle V_{0}=\{0\}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=V}$ von Unterräumen mit ${\displaystyle \mathrm {dim} \,V_{i}\,=i}$ für alle ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$.

Des Weiteren bezeichne ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ die allgemeine lineare Lie-Algebra über ${\displaystyle V}$. Für eine Lie-Algebra ${\displaystyle L}$ seien die sogenannten abgeleiteten Lie-Algebren ${\displaystyle L^{(i)}}$ rekursiv definiert durch ${\displaystyle L^{(0)}:=L}$ und ${\displaystyle L^{(i+1)}:=[L^{(i)},L^{(i)}]}$, wobei letzteres für den von allen Produkten ${\displaystyle [x,y],x,y\in L^{(i)}}$ erzeugten Unterraum stehe. Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn es ein ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle L^{(i)}=\{0\}}$ gibt. Ein verwandter Begriff ist die Nilpotenz. Man definiert rekursiv ${\displaystyle L^{0}:=L}$ und ${\displaystyle L^{i+1}:=[L^{i},L]}$ und nennt eine Lie-Algebra nilpotent, wenn es ein ${\displaystyle i}$ mit ${\displaystyle L^{i}=\{0\}}$ gibt. Da offenbar ${\displaystyle L^{(i)}\subset L^{i}}$, folgt die Auflösbarkeit aus der Nilpotenz, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Erste Formulierung des Satzes

• Es sei ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ eine auflösbare Lie-Algebra. Dann gibt es für ${\displaystyle L}$ einen gemeinsamen Eigenvektor.

Genauer bedeutet das, dass es einen Vektor ${\displaystyle v\neq 0}$ aus ${\displaystyle V}$ gibt, so dass ${\displaystyle xv}$ für jedes ${\displaystyle x\in L}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle v}$ ist, insbesondere ist ${\displaystyle \mathbb {C} \cdot v}$ für jedes ${\displaystyle x\in L}$ ein invarianter Unterraum, das heißt, er wird von ${\displaystyle x}$ in sich abgebildet.

Zweite Formulierung des Satzes

• Es sei ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ eine auflösbare Lie-Algebra. Dann gibt es eine ${\displaystyle L}$-invariante Fahne.

Das bedeutet genauer, dass es eine Fahne ${\displaystyle V_{0}=\{0\}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=V}$ gibt mit ${\displaystyle xV_{i}\subset V_{i}}$ für alle ${\displaystyle x\in L}$ und ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$. Diese Formulierung verschärft die erste, denn offenbar ist jeder Vektor aus ${\displaystyle V_{1}\setminus \{0\}}$ ein gemeinsamer Eigenvektor.

Umgekehrt konstruiert man die Fahne der zweiten Formulierung wie folgt mittels Induktion aus der ersten. Der Induktionsanfang ist ${\displaystyle V_{0}=\{0\}}$. Hat man ${\displaystyle V_{i}}$ für ${\displaystyle 0\leq i<n}$ bereits konstruiert, so ist

${\displaystyle \varphi :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V/V_{i}),\quad \varphi (x)(v+V_{i}):=xv+V_{i}}$

wegen der ${\displaystyle L}$-Invarianz von ${\displaystyle V_{i}}$ eine wohldefinierte Darstellung von ${\displaystyle L}$ auf dem Quotientenraum ${\displaystyle V/V_{i}}$, und dieser ist wegen ${\displaystyle i<n}$ nicht der Nullraum. Dann ist ${\displaystyle \varphi (L)\subset {\mathfrak {gl}}(V/V_{i})}$ als homomorphes Bild einer auflösbaren Lie-Algebra wieder auflösbar und auf Grund der ersten Formulierung gibt es einen gemeinsamen Eigenvektor ${\displaystyle w+V_{i}\in V/V_{i}}$. Setzt man nun ${\displaystyle V_{i+1}=V_{i}+\mathbb {C} \cdot w}$, so rechnet man leicht nach, dass dieser Unterraum ${\displaystyle L}$-invariant ist, womit die induktive Konstruktion beendet ist.

Folgerungen

Als erste wichtige Folgerung kann man auflösbare Lie-Algebren mit oberen Dreiecksmatrizen in Verbindung bringen. Ist ${\displaystyle V_{0}=\{0\}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \ldots \subset V_{n}=V}$ eine Fahne wie in der zweiten Formulierung, so kann man mittels Basisergänzungssatz eine Basis ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ von ${\displaystyle V}$ konstruieren, so dass ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{i}}$ für jedes ${\displaystyle i}$ eine Basis von ${\displaystyle V_{i}}$ ist. Stellt man die Elemente ${\displaystyle x\in L}$ bzgl. dieser Basis als Matrizen dar, so erhält man wegen ${\displaystyle xV_{i}\subset V_{i}}$ obere Dreiecksmatrizen. Wir haben daher:

• Eine auflösbare Lie-Algebra ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ ist isomorph zu einer Unteralgebra der Lie-Algebra der oberen Dreieckmatrizen.

Wie o​ben erwähnt s​ind nilpotente Lie-Algebren auflösbar, w​obei die Umkehrung i​m Allgemeinen n​icht gilt. Daher i​st folgende Aussage a​uf den ersten Blick überraschend:

• Ist ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ eine auflösbare Lie-Algebra, so ist ${\displaystyle L^{(1)}=[L,L]}$ nilpotent.

Nach der ersten Folgerung ist ${\displaystyle L}$ isomorph zu einer Unteralgebra der oberen Dreiecksmatrizen. Da ein Kommutator zweier oberer Dreiecksmatrizen eine strikte obere Dreiecksmatrix ist, das heißt die Diagonalelemente sind sämtlich 0, ist ${\displaystyle L^{(1)}=[L,L]}$ isomorph zu einer Unteralgebra der nilpotenten Lie-Algebra der strikten oberen Dreiecksmatrizen und daher selbst nilpotent.

Als weitere Folgerung k​ann man i​n einer auflösbaren Lie-Algebra e​ine Fahne v​on Idealen konstruieren:

• Ist ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ eine auflösbare Lie-Algebra, so gibt es eine Fahne ${\displaystyle L_{0}=\{0\}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L}$ von Idealen.

Zum Beweis beachte man, dass das Bild der adjungierten Darstellung eine auflösbare Lie-Algebra in ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(L)}$ ist. Dort gibt es nach obigem Satz von Lie eine invariante Fahne, und die invarianten Unterräume von ${\displaystyle L}$ sind Ideale. Eine solche Kette von Idealen nennt man eine Hölder-Reihe der Lie-Algebra.

• Jede irreduzible Darstellung einer auflösbaren Lie-Algebra ist eindimensional.

Ist ${\displaystyle \pi :L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ eine irreduzible Darstellung, so ist mit ${\displaystyle L}$ auch ${\displaystyle \pi (L)\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ auflösbar, hat also nach obigem Satz von Lie einen gemeinsamen Eigenvektor ${\displaystyle v\not =0}$. Der von ${\displaystyle v}$ aufgespannte eindimensionale Unterraum ist dann invariant, muss also wegen der Irreduzibilität mit ${\displaystyle V}$ übereinstimmen, und das ist die Behauptung.

Andere Grundkörper

Der Satz v​on Lie i​st ebenfalls richtig fūr Vektorräume über algebraisch abgeschlossenen Körpern d​er Charakteristik Null. Dagegen g​ibt es Gegenbeispiele für Vektorräume über d​en reellen Zahlen o​der über Körpern positiver Charakteristik.

Literatur

• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg (1999), ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II, §2: Nilpotente und auflösbare Lie-Algebren
• James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 4.1: Lie's Theorem