Allgemeine lineare Lie-Algebra

Die allgemeine lineare Lie-Algebra wird in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersucht, sie ist gewissermaßen der Prototyp einer Lie-Algebra. Zu jedem Vektorraum gehört die allgemeine lineare Lie-Algebra .

Definitionen

Es sei ein Vektorraum über einem Körper und die K-Algebra der K-linearen Abbildungen , der sogenannten Endomorphismen auf . Für zwei Endomorphismen definiert man den Kommutator durch

.

Dann ist eine bilineare Abbildung auf und es gilt

für alle Endomorphismen
für alle Endomorphismen

Die letzte Gleichung heißt Jacobi-Identität; e​s ist lehrreich, s​ie kurz z​u bestätigen.

Das erste Gleichheitszeichen verwendet nur die Definition des Kommutators und das zweite das Distributivgesetz. Zum letzten Gleichheitszeichen stelle man fest, dass unter den 12 Produkten jede der 6 möglichen Permutationen der genau zweimal vorkommt, jeweils mit unterschiedlichem Vorzeichen und unterschiedlicher Klammerung. Es ist also ganz wesentlich das Assoziativgesetz in der Algebra , das zur Gültigkeit der Jacobi-Identität führt.

Man nennt einen Vektorraum mit einer bilinearen Abbildung , die die beiden oben genannten Eigenschaften hat, eine Lie-Algebra. Wir haben daher nachgewiesen, dass zusammen mit dem Kommutator eine solche Lie-Algebra ist. Um sie von der assoziativen Algebra zu unterscheiden, nennt man sie , die genaue Begründung dieser Benennung erfolgt unten.

Besonders wichtig ist der Fall , man schreibt dann . Stellt man die Endomorphismen als Matrizen bzgl. der Standardbasis des dar, so erhält man Lie-Algebren von Matrizen.

Allgemein k​ann man j​ede assoziative Algebra m​it der h​ier beschriebenen Konstruktion mittels Kommutator-Bildung z​u einer Lie-Algebra machen.[1]

Die Lie-Algebra der allgemeinen linearen Gruppe

Die Benennung allgemeine lineare Lie-Algebra stammt aus der Theorie der Lie-Gruppen. Bekanntlich bezeichnet die Gruppe der invertierbaren Endomorphismen auf , die sogenannte allgemeine lineare Gruppe (englisch: General Linear Group), und diese ist eine Lie-Gruppe. Jeder Lie-Gruppe wird auf eine bestimmte Weise eine Lie-Algebra zugeordnet, die sogenannte Lie-Algebra der Lie-Gruppe, und es ist allgemein üblich, für diese den Namen der Gruppe in kleinen Frakturbuchstaben zu verwenden.

Bei dieser Zuordnung wird die Gruppe auf den Tangentialraum am neutralen Element mit einem gewissen Lie-Produkt abgebildet. Ist , so sei

mit dem Matrixexponential . Dann ist das neutrale Element und daher ein Element des Tangentialraums am neutralen Element, also ein Element der zugehörigen Lie-Algebra. Indem man mit identifiziert, erhält man die Menge als Tangentialraum; zusammen mit dem Kommutator als Lie-Produkt ergibt das die gesuchte Lie-Algebra.[2] Daher ist die allgemeine lineare Lie-Algebra die Lie-Algebra der allgemeinen linearen Gruppe , was ihren Namen erklärt.

Lineare Lie-Algebren

Die Unter-Lie-Algebren der allgemeinen linearen Lie-Algebra heißen lineare Lie-Algebren, viele wichtige Lie-Algebren können leicht als Unter-Lie-Algebra der beschrieben werden.

,

die Lie-Algebra d​er oberen Dreiecksmatrizen.

,

die nilpotente Lie-Algebra d​er strikten, oberen Dreiecksmatrizen.

,

die Lie-Algebra z​ur speziellen linearen Gruppe.

,

die symplektische Lie-Algebra, wobei mit Einheitsmatrix sei und die Transponierte von bezeichne.

Im unten angegebenen Lehrbuch[3] finden sich weitere Beispiele. Mittels der universellen einhüllenden Algebra kann man zeigen, dass jede Lie-Algebra isomorph zu einer linearen Algebra ist.

Eigenschaften

Zentrum

Das Zentrum der allgemeinen linearen Lie-Algebra ist . Das ist ein Spezialfall des Lemmas von Schur, kann aber auch leicht direkt durch Inspektion der Kommutatoren mit den Standardmatrizen nachgewiesen werden.

Auflösbarkeit

Die allgemeine lineare Lie-Algebra ist nicht auflösbar. Es gilt

und
,

so dass die absteigende Kette der abgeleiteten Algebren bei hängen bleibt.

Radikal

Die allgemeine lineare Lie-Algebra ist nicht halbeinfach, sie zerfällt in eine direkte Summe , wobei der erste Summand einfach und der zweite auflösbar ist. Das Radikal der ist .[4]

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. N. Jacobson: Lie Algebras. John Wiley & Sons, 1962, S. 6.
  2. V. V. Gorbatsevich, A. L. Onishchik, E. B. Vinberg: Foundations of Lie Theory and Lie Transformation Groups. Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-61222-X, S. 31.
  3. J. E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer-Verlag, 1972, ISBN 0-387-90052-7, S. 2 und 3
  4. V. V. Gorbatsevich, A. L. Onishchik, E. B. Vinberg: Foundations of Lie Theory and Lie Transformation Groups. Springer-Verlag, 1997, ISBN 3-540-61222-X, S. 58, Beispiel 2
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.