Fahne (Mathematik)

Als Fahne w​ird in d​er linearen Algebra e​ine Folge v​on Vektorräumen aufsteigender Dimension m​it einer echten Teilmengenbeziehung bezeichnet. Der Name stammt daher, d​ass die ersten d​rei Vektorräume – Punkt, Gerade, Ebene – w​ie eine gewöhnliche Fahne angeordnet werden können.

Darstellung einer Vektorraumfolge in Form einer Fahne

Definition

Eine Fahne in einem (meist endlichdimensionalen) Vektorraum ${\displaystyle V}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ ist eine endliche Folge ${\displaystyle (V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n})}$ von Untervektorräumen von ${\displaystyle V}$ mit ${\displaystyle V_{0}=0}$ und ${\displaystyle V_{n}=V}$, so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

${\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq V_{n}.}$

Ist ${\displaystyle \dim V=n}$ oder äquivalent dazu ${\displaystyle \dim V_{i}=i}$ für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$, so spricht man von einer vollständigen Fahne. Manche Autoren beschäftigen sich nur mit vollständigen Fahnen und sprechen dann von Fahnen schlechthin.

Beispiele

Ist ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{d})}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$, so ist durch

${\displaystyle V_{i}=\langle v_{k}\mid 1\leq k\leq i\rangle _{K}}$

eine vollständige Fahne definiert. Das Datum d​er Fahne i​st jedoch schwächer, verschiedene Basen können dieselbe Fahne erzeugen.

Typ von Fahnen

Sind ${\displaystyle (V_{i})_{i=0,\ldots ,n}}$ und ${\displaystyle (W_{i})_{i=0,\ldots ,n}}$ zwei Fahnen, die aus derselben Anzahl von Unterräumen bestehen und für die

${\displaystyle \dim V_{i}=\dim W_{i}}$ für ${\displaystyle i=0,\ldots ,n}$

gilt, so sagt man, dass ${\displaystyle (V_{i})_{i}}$ und ${\displaystyle (W_{i})_{i}}$ denselben Typ haben. Die Typen von Fahnen sind durch die Partitionen der Zahl ${\displaystyle \dim V}$ bestimmt. Zwei Fahnen vom selben Typ gehen stets durch einen Automorphismus von ${\displaystyle V}$ auseinander hervor.

Verwendung

Ist ${\displaystyle A}$ ein Endomorphismus von ${\displaystyle V}$, und gilt

${\displaystyle A\cdot V_{i}\subseteq V_{i},}$ für alle ${\displaystyle i}$

so heißt die Fahne unter ${\displaystyle A}$ invariant oder stabil. Ist die Fahne vollständig, so impliziert die Existenz einer invarianten Fahne, dass es eine Basis von ${\displaystyle V}$ gibt, bezüglich der ${\displaystyle A}$ durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird (Trigonalisierung). Für allgemeinere Fahnen ergibt sich eine Blockdreiecksform, die durch den Typ der Fahne bestimmt ist.

Verwandte Begriffe

• Die Menge aller Automorphismen von ${\displaystyle V}$, die eine gegebene Fahne stabilisieren, bildet eine parabolische Untergruppe von ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$.
• Die Menge aller Fahnen eines Typs wird als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet. Da ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ transitiv auf der Menge aller Fahnen eines Typs operiert, lassen sich Fahnenmannigfaltigkeiten als homogene Räume von ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ darstellen.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
• I. R. Shafarevich, A. O. Remizov: Linear Algebra and Geometry. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9.