Satz von Heine

Der Satz v​on Heine (nach Eduard Heine; o​der auch Satz v​on Heine-Cantor) a​us der reellen Analysis m​acht eine Aussage über stetige Funktionen. Er w​urde 1872 v​on Eduard Heine bewiesen[1] u​nd nach i​hm benannt, n​ach Aussage v​on Jürgen Heine w​urde diese Tatsache jedoch s​chon zuvor v​on Karl Weierstraß entdeckt.[2]

Aussage

Der Satz v​on Heine besagt:

Ist eine Funktion ${\displaystyle f}$ im kompakten Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.

Mit anderen Worten: Zu einem beliebigen ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existiert ein ${\displaystyle \delta =\delta (\varepsilon )>0}$ derart, dass für zwei beliebige Stellen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$ aus dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ mit ${\displaystyle |x_{2}-x_{1}|<\delta }$ gilt:

${\displaystyle |f(x_{2})-f(x_{1})|<\varepsilon .}$

Beweis

Ein typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch. Ist ${\displaystyle f}$ nicht gleichmäßig stetig, so gibt es ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und zu jedem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ Punkte ${\displaystyle x_{n},x_{n}'\in [a,b]}$, so dass

${\displaystyle \left|x_{n}-x_{n}'\right|<{\frac {1}{n}}}$ und ${\displaystyle \left|f(x_{n})-f(x_{n}')\right|\geq \varepsilon .}$

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine konvergente Teilfolge ${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$, deren Grenzwert ${\displaystyle x}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ enthalten ist. Dieser ist wegen

${\displaystyle \left|x_{n_{k}}-x_{n_{k}}'\right|<{\frac {1}{n_{k}}}}$

ebenfalls Grenzwert der Folge ${\displaystyle (x_{n_{k}}')_{k\in \mathbb {N} }}$. Aus der Stetigkeit von ${\displaystyle f}$ folgt ${\displaystyle f(x_{n_{k}})\to f(x)}$ und ${\displaystyle f(x_{n_{k}}')\to f(x)}$. Daher gibt es ein ${\displaystyle k_{0}}$, so dass ${\displaystyle \left|f(x_{n_{k}})-f(x)\right|<\varepsilon /2}$ und ${\displaystyle \left|f(x_{n_{k}}')-f(x)\right|<\varepsilon /2}$ für alle ${\displaystyle k\geq k_{0}}$. Daraus folgt nun

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f(x_{n_{k}})-f(x_{n_{k}}')\right|&=\left|(f(x_{n_{k}})-f(x))+(f(x)-f(x_{n_{k}}'))\right|\\&\leq \left|(f(x_{n_{k}})-f(x))\right|+\left|(f(x)-f(x_{n_{k}}'))\right|<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon \end{aligned}}}$

für alle ${\displaystyle k\geq k_{0}}$, im Widerspruch zu ${\displaystyle \left|f(x_{n_{k}})-f(x_{n_{k}}')\right|\geq \varepsilon }$ für alle ${\displaystyle k}$. Daher war die gemachte Annahme falsch und es folgt die gleichmäßige Stetigkeit.

Verallgemeinerung auf kompakte metrische Räume

Mit e​inem nahezu identischen Beweis verallgemeinert s​ich dieser Satz a​uf kompakte metrische Räume:

Ist ${\displaystyle K}$ ein kompakter metrischer Raum, ${\displaystyle M}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle f:K\rightarrow M}$ stetig, so ist ${\displaystyle f}$ gleichmäßig stetig.

Weitere Beweisskizze für metrische Räume

Der Satz lässt s​ich – e​twa nach Otto Forster[3] – a​uch beweisen u​nter Zugrundelegung d​er Heine-Borel-Eigenschaft – u​nd zwar o​hne Widerspruchsbeweis!

Dieser Beweis lässt s​ich wie f​olgt skizzieren:

Zu dem kompakten metrischen Raum ${\displaystyle K}$ (mit der Metrik ${\displaystyle d_{K}}$), dem metrischen Raum ${\displaystyle M}$ (mit der Metrik ${\displaystyle d_{M}}$) und der stetigen Abbildung ${\displaystyle f}$ fixiert man ein beliebiges ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Hierzu ist das für den Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit benötigte ${\displaystyle \delta (\varepsilon )}$ zu bestimmen.

Dies gewinnt man, indem man zunächst die Stetigkeitseigenschaft von ${\displaystyle f}$ heranzieht und aus ihr zu jedem ${\displaystyle a\in K}$ ein ${\displaystyle \delta (a)>0}$ festlegt derart, dass für ${\displaystyle b\in K}$ mit ${\displaystyle d_{K}(a,b)<\delta (a)}$ stets ${\displaystyle d_{M}(f(a),f(b))<{\frac {\varepsilon }{2}}}$ erfüllt ist.

Dann betrachtet man die aus lauter Punktumgebungen bestehende offene ${\displaystyle K}$-Überdeckung ${\displaystyle (U_{\frac {\delta (a)}{2}})_{a\in K}}$. Wegen der Kompaktheit von ${\displaystyle K}$ ergibt sich infolge der Heine-Borel-Eigenschaft, dass schon endlich viele dieser Umgebungen ${\displaystyle K}$ überdecken, etwa ${\displaystyle U_{\frac {\delta (a_{1})}{2}},\ldots ,U_{\frac {\delta (a_{n})}{2}}}$ für ein gewisses ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Schließlich s​etzt man:

${\displaystyle \delta (\varepsilon )=\min({\frac {\delta (a_{1})}{2}},\ldots ,{\frac {\delta (a_{n})}{2}})}$ .

Den Nachweis d​er in d​er Definition d​er gleichmäßigen Stetigkeit auftretenden Ungleichung führt m​an unter Anwendung d​er Dreiecksungleichung.

Verallgemeinerung auf kompakte Hausdorffräume

Der heinesche Satz lässt sich über die kompakten metrischen Räume hinaus sogar auf beliebige kompakte Hausdorffräume ausdehnen. Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass der topologischen Struktur eines kompakten Hausdorffraums ${\displaystyle X}$ eine eindeutig bestimmte uniforme Struktur unterliegt. Deren Nachbarschaftssystem ${\displaystyle {\Phi }_{X}}$ besteht aus allen Umgebungen der Diagonalen ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ im zugehörigen Produktraum ${\displaystyle X\times X}$, wobei die in ${\displaystyle X\times X}$ offenen Nachbarschaften ein Fundamentalsystem bilden, wodurch sogar eine vollständige uniforme Struktur gegeben ist.[4][5]

Es g​ilt also:[6][7]

Eine stetige Abbildung ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ des kompakten Hausdorffraums ${\displaystyle X}$ in den uniformen Raum ${\displaystyle Y}$ ist stets auch gleichmäßig stetig.

Folgerung

Aus d​em Satz v​on Heine gewinnt m​an einen Fortsetzungssatz:[6][7]

Ist ${\displaystyle A\subseteq X}$ eine dichte Teilmenge des kompakten Hausdorffraums ${\displaystyle X}$ und ist ${\displaystyle f:A\rightarrow Y}$ eine Abbildung von ${\displaystyle A}$ in den separierten und vollständigen uniformen Raum ${\displaystyle Y}$, so ist ${\displaystyle f}$ stetig und dabei fortsetzbar zu einer stetigen Abbildung auf ganz ${\displaystyle X}$ genau dann, wenn ${\displaystyle f}$ - bezüglich der von ${\displaystyle X}$ auf ${\displaystyle A}$ induzierten uniformen Struktur[8] - gleichmäßig stetig ist.

Gegenbeispiel

Für nicht-kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch. Die Funktion ${\displaystyle f:(0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x}}}$ ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. In der Tat gibt es zu ${\displaystyle \varepsilon =1}$ kein ${\displaystyle \delta >0}$, das die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. Ist nämlich ${\displaystyle \delta >0}$ beliebig, so gibt es ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}<\delta }$. Dann folgt

${\displaystyle \left|{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n}}\right|={\frac {1}{n(n+1)}}<\delta }$,

aber

${\displaystyle \left|f\left({\frac {1}{n+1}}\right)-f\left({\frac {1}{n}}\right)\right|=|(n+1)-n|=1\geq \varepsilon }$.

Also kann ${\displaystyle f}$ nicht gleichmäßig stetig sein.

Literatur

• Nicolas Bourbaki: General Topology (= Elements of Mathematics. Part I). Addison-Wesley Publishing (u. a.), Reading MA (u. a.) 1966 (MR0205210).
• Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ, gewöhnliche Differentialgleichungen (= Vieweg Studium). 6., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-47231-6.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise

1. Eduard Heine: Die Elemente der Functionenlehre. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 74, 1872, S. 172–188.
2. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.
3. Otto Forster: Analysis 2. 2005, S. 34.
4. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 128 ff.
5. Nicolas Bourbaki: General Topology. Part I. 1966, S. 198 ff.
6. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 129.
7. Nicolas Bourbaki: General Topology. Part I. 1966, S. 201.
8. Das Nachbarschaftssystem dieser auf ${\displaystyle A}$ induzierten uniformen Struktur rührt her von der Inklusionsabbildung ${\displaystyle i_{A\times A}\colon {A\times A}\rightarrow {X\times X}}$ und besteht aus den Schnittmengen von ${\displaystyle A\times A}$ mit den Nachbarschaften aus ${\displaystyle {\Phi }_{X}}$ (Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 110).