Satz von Beckman und Quarles

Der Satz v​on Beckman u​nd Quarles i​st ein Satz über geometrische Transformationen. Er w​urde im Jahr 1953 v​on Frank S. Beckman u​nd Donald A. Quarles Jr. erstmals publiziert u​nd unabhängig d​avon von mehreren anderen Autoren bewiesen.[1][2]

Der Satz besagt, dass eine beliebige Selbstabbildung des n-dimensionalen euklidischen Raumes (${\displaystyle n>1}$), die sämtliche Punktpaare mit Abstand 1 in ebensolche überführt, bereits eine Isometrie ist, also sämtliche Abstände unverändert lässt. Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass jeder Automorphismus des Einheitsdistanz-Graphen eine Isometrie ist.

Formale Aussage

Die Aussage des Satzes stimmt auch dann noch, wenn man den Abstand 1 durch einen beliebigen festen Abstand ${\displaystyle r>0}$ ersetzt und mehrdeutige Funktionen zulässt.

Sei ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ für ${\displaystyle n>1}$ eine mehrdeutige Funktion von in sich mit folgender Eigenschaft:

es gibt ${\displaystyle r>0}$, so dass für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle |x-y|=r}$ auch für alle Bildpaare ${\displaystyle |\phi (x)-\phi (y)|=r}$ gilt.

Dann ist ${\displaystyle \phi }$ eine eindeutige, bijektive Funktion und es gilt für alle ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$, dass ${\displaystyle |x-y|=|\phi (x)-\phi (y)|}$.

Gegenbeispiele in reellen Räumen

Anhand eines einfachen Gegenbeispiels erkennt man, dass die Voraussetzung ${\displaystyle n\neq 1}$ an die Dimension des Raumes wirklich notwendig ist. Man betrachte dazu die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}}$, die alle ganzen Zahlen ${\displaystyle x}$ auf ${\displaystyle x+1}$ abbildet und alle anderen Zahlen festhält. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ erhält offensichtlich den Abstand 1, aber keine anderen positiven Abstände. Graphentheoretisch gesprochen existiert dieses Gegenbeispiel, da der Einheitsdistanz-Graph von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ in einzelnen Zusammenhangskomponenten zerfällt, auf denen unterschiedliche Graphen-Automorphismen angewandt werden. In allen Dimensionen ${\displaystyle n>1}$ ist der Einheitsdistanz-Graph hingegen zusammenhängend.

Sieben-Färbung der Ebene mittels Sechseck-Parkettierung.

Die Voraussetzung, dass die Dimensionen von Urbild- und Zielraum der Abbildung übereinstimmen, ist ebenfalls notwendig. Für den Fall, dass der Urbildraum die euklidische Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ist und der Zielraum der Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$ findet man eine Funktion, die zwar den Abstand 1 festhält, aber keine Isometrie ist.[3] Dazu parkettiert man die Ebene mit Sechsecken von Durchmesser 1. Diese können in sieben verschiedenen Farben eingefärbt werden (siehe Abbildung), was einer 7-Färbung des Einheitsdistanz-Graphen entspricht. Im Zielraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$ bestimme man ein 6-Simplex mit Kantenlänge 1. Jene Abbildung, die alle Punkten einer Farbklasse jeweils auf einen Punkt des Simplex abbildet, ist offensichtlich eine Abbildung, die den Abstand 1 festhält, aber keine Isometrie ist.

Des Weiteren ist für die Anwendung des Satzes die Endlichkeit der Dimension des Raumes notwendig: Von Beckman und Quarles stammt ein Gegenbeispiel im Hilbertraum der quadratisch summierbaren Folgen ${\displaystyle \ell ^{2}}$.

Eine endliche Variante des Satzes von Beckman und Quarles

Für j​ede algebraische Zahl A k​ann ein Einheitsdistanz-Graph G gefunden werden, b​ei dem einige Knotenpaare d​en Abstand A i​n allen Einheitsdistanz-Darstellungen v​on G haben.[4][5] Damit w​ird eine endliche Variante d​es Satzes v​on Beckman u​nd Quarles impliziert: für j​e zwei Punkte p u​nd q m​it Abstand A existiert e​in endlicher starrer Einheitsdistanz-Graph, d​er p u​nd q beinhaltet u​nd der b​ei jeder Einheitsdistanz-erhaltenden Transformation d​er Ebene a​uch den Abstand zwischen p u​nd q erhält.[6]

Verallgemeinerungen und weitere Ergebnisse

Betrachtet man Selbstabbildungen auf dem Raum ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ und unter Verwendung der euklidischen Metrik, so ist die Situation komplizierter als im reellen Raum. Für Dimensionen ${\displaystyle n\geq 5}$ sind alle Selbstabbildungen auf ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$, die den Einheitsabstand erhalten, Isometrien. In den Dimensionen ${\displaystyle n<5}$ lassen sich Gegenbeispiele finden, da in diesen Räumen der Einheitsdistanz-Graph in einzelne Zusammenhangskomponenten zerfällt.[7][8] Selbst, wenn man zusätzlich voraussetzt, dass der Abstand ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ erhalten bleibt, ändert sich nichts an der Aussage.[9] Die endliche Variante des Satzes ist für den rationalen Raum nur für bestimmte Spezialfälle bekannt.[10]

Es gibt für verschiedene andere Geometrien Sätze, die dem Satz von Beckman und Quarles entsprechen. June Lester zeigte beispielsweise, dass unter eine Selbstabbildung ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\ (n>2)}$, die einen festen Wert einer quadratischen Form erhält, alle Werte der quadratischen Form erhalten bleiben.[11] Von verschiedenen anderen Autoren wurden analoge Sätze für Minkowski-Räume[12], die Möbius-Ebene[13], die projektive Ebene[14] und metrische Räume über Körper mit Charakteristik ungleich 0[15][16] bewiesen.

Literatur

• F. S. Beckman, D. A. Quarles: On isometries of Euclidean spaces. In: Proc. Amer. Math. Soc. Band 4, 1953, S. 810–815 (MR0058193).
• W. Benz: Geometrische Transformationen unter besonderer Berücksichtigung der Lorentztransformation. BI-Wiss.-Verl., Mannheim (u. a.) 1992, ISBN 3-411-15071-8, S. 15–31 (MR1183223).
• H. Lenz: Bemerkungen zum Beckman-Quarles-Problem. In: Mitt. Math. Ges. Hamburg. Band 12, Nr. 2, 1991, S. 429–446 (MR1144794).

Einzelnachweise

1. C. G. Townsend: Congruence-preserving mappings. In: Math. Mag. Band 43, 1970, S. 37–38 (MR0256252).
2. R. L. Bishop: Characterizing motions by unit distance invariance. In: Math. Mag. Band 46, 1970, S. 148–151 (MR0319026).
3. B. V. Dekster: Nonisometric distance 1 preserving mapping ${\displaystyle E_{2}\to E_{6}}$. In: Arch. Math. Band 45, 1985, S. 283-283 (MR0807663).
4. H. Maehara: Distances in a rigid unit-distance graph in the plane. In: Discrete Appl. Math. Band 31, Nr. 2, 1991, S. 193–200 (MR1106700).
5. H. Maehara: Extending a flexible unit-bar framework to a rigid one. In: Discrete Math. Band 108, Nr. 1-3, 1992, S. 167–174 (MR1189840).
6. A. Tyszka: Discrete versions of the Beckman-Quarles theorem. In: Aequationes Math. Band 59, Nr. 1-2, 2000, S. 124–133 (MR1741475).
7. J. Zaks: The rational analogue of the Beckman-Quarles Theorem and the rational realization of some sets in ${\displaystyle E_{d}}$. In: Rend. Mat. Appl. (7). Band 26, Nr. 1, 2006, S. 87–94 (MR2215835).
8. R. Connelly, J. Zaks: The Beckman-Quarles theorem for rational d-spaces, d even and d ≥ 6. In: Monogr. Textbooks Pure Appl. Math. Nr. 253, 2003, S. 193–199 (MR2034715).
9. J. Zaks: On mappings of ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{d}}$ to ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{d}}$ that preserve distances 1 and ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ and the Beckman-Quarles theorem. In: J. Geom. Band 82, Nr. 1-2, 2005, S. 195–203 (MR2034715).
10. J. Zaks: A discrete form of the Beckman-Quarles theorem for rational spaces. In: J. Geom. Band 72, Nr. 1-2, 2001, S. 199–205 (MR1891467).
11. J. A. Lester: Transformations of n-space which preserve a fixed square-distance. In: Canad. J. Math. Band 31, Nr. 2, 1979, S. 392–395 (MR0528819).
12. J. A. Lester: The Beckman-Quarles theorem in Minkowski space for a spacelike square-distance. In: C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada. Band 3, Nr. 2, 1981, S. 59–61 (MR0612389).
13. J. A. Lester: A Beckman-Quarles type theorem for Coxeter's inversive distance. In: Canad. Math. Bull. Band 34, Nr. 4, 1991, S. 492–498 (MR1136651).
14. W. Benz: A Beckman-Quarles type theorem for finite Desarguesian planes. In: J. Geom. Band 19, Nr. 1, 1982, S. 89–93 (MR0689123).
15. F. Radó: A characterization of the semi-isometries of a Minkowski plane over a field. In: K. J. Geom. Band 21, Nr. 2, 1983, S. 164–183 (MR0745209).
16. F. Radó: On mappings of the Galois space. In: Israel J. Math. Band 53, Nr. 2, 1986, S. 217–230 (MR0845873).