Satz vom abgeschlossenen Bild

Der Satz v​om abgeschlossenen Bild i​st ein mathematischer Satz a​us dem Teilgebiet d​er Funktionalanalysis. Er m​acht eine Aussage darüber, w​ann das Bild e​ines stetigen linearen Operators abgeschlossen ist.

Motivation

Ist ein stetiger linearer Operator zwischen normierten Räumen, so erklärt man den dualen Operator durch .

Für einen Unterraum sei , das ist der Unterraum im Dualraum, der aus allen stetigen linearen Funktionalen besteht, die auf verschwinden. Für einen Unterraum definiert man analog einen Unterraum in durch die Formel . (In der Literatur findet man dafür auch die Bezeichnung und nimmt damit eine Mehrdeutigkeit der Bezeichnung in Kauf.)

Mit Hilfe des Trennungssatzes (bzw. des Satzes von Hahn-Banach) zeigt man und , wobei „ker“ und „im“ für Kern und Bild eines Operators stehen. Eine derartige Beziehung ist aus der linearen Algebra vertraut. Entsprechend würde man eine analoge Formel wie erwarten, die aber im Allgemeinen nicht gelten kann, denn ist stets abgeschlossen, das Bild eines stetigen linearen Operators hingegen im Allgemeinen nicht. Ist z. B. der Banachraum aller Nullfolgen, so ist ein stetiger linearer Operator mit dichtem (also nicht-abgeschlossenem) Bild. Ein derartiges Phänomen kann in der linearen Algebra, d. h. bei endlichdimensionalen Räumen, nicht auftreten. Um zu der aus der linearen Algebra erwarteten Formel zu gelangen, muss man also die Abgeschlossenheit des Bildraums voraussetzen. Dies erweist sich als ausreichend und äquivalent zur entsprechenden Aussage über den dualen Operator:

Satz vom abgeschlossenen Bild

Seien und Banachräume und ein stetiger linearer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist abgeschlossen.
  • .
  • ist abgeschlossen.
  • .

Für allgemeine normierte Räume gilt dieser Satz nicht. So hat z. B. ein abgeschlossenes Bild (weil surjektiv ist!), aber der duale Operator, der mit den üblichen Identifikationen bei Folgenräumen gleich der Inklusionsabbildung ist, hat kein abgeschlossenes Bild.

Anwendung

Sind und stetige lineare Operatoren zwischen Banachräumen, so kann man daraus die Sequenz

bilden, wobei 0 für den Nullvektorraum stehe, und die Frage nach der Exaktheit stellen. Die angegebene Sequenz ist genau dann exakt, wenn die duale Sequenz

exakt ist. Ist nämlich die Ausgangssequenz exakt, so sind die Bilder von und abgeschlossen mit . Daher sind nach obigem Satz auch die Bilder von und abgeschlossen, und es folgt

.

Das bedeutet Exaktheit d​er dualen Sequenz. Genauso f​olgt die Exaktheit d​er Ausgangssequenz a​us der Exaktheit d​er dualen Sequenz.

Literatur

  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992, ISBN 3-528-07262-8.
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