Lokal symmetrischer Raum

In d​er Mathematik s​ind lokal symmetrische Räume e​ine wichtige Klasse v​on Beispielen i​n der Differentialgeometrie, d​ie insbesondere flache Mannigfaltigkeiten u​nd hyperbolische Mannigfaltigkeiten umfasst. Harmonische Analysis a​uf lokal symmetrischen Räumen hängt e​ng mit d​er Theorie automorpher Formen zusammen u​nd hat tiefliegende Anwendungen i​n der Zahlentheorie.

Eigenschaften

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist ein lokal symmetrischer Raum, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:

• Zu jedem ${\displaystyle x\in M}$ gibt es ein ${\displaystyle \epsilon >0}$, so dass die geodätische Spiegelung eine Isometrie der ${\displaystyle \epsilon }$-Kugel ${\displaystyle B_{\epsilon }(x)}$ auf sich ist.
• Die Ableitung des Riemannschen Krümmungstensors verschwindet:

${\displaystyle \nabla R=0}$.

• Für jedes Jacobifeld mit ${\displaystyle Y(0)=0}$ ist ${\displaystyle \|Y(t)\|=\|Y(-t)\|}$.
• Die universelle Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ist ein symmetrischer Raum.
• Es gibt eine diskrete Gruppe von Isometrien ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} ({\widetilde {M}})}$ mit

${\displaystyle M=\Gamma \backslash {\widetilde {M}}}$.

Beispiele

• Flache Mannigfaltigkeiten sind von der Form ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {R} ^{n}}$ für ein Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {R} ^{n}}$ und damit lokal symmetrische Räume.
• Wenn ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe, ${\displaystyle K\subset G}$ eine maximal kompakte Untergruppe und ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ eine diskrete torsions-freie Untergruppe ist, dann ist ${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$ ein lokal symmetrischer Raum.
• Für ${\displaystyle G=SO_{0}(n,1)}$ und ${\displaystyle K=SO(n)}$ ist ${\displaystyle G/K}$ der hyperbolische Raum, insbesondere sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle \Gamma \backslash H^{n}}$ lokal symmetrisch.
• Für die Zahlentheorie und die Theorie automorpher Formen bedeutsam sind die lokal symmetrischen Räume ${\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )\backslash SL(n,\mathbb {R} )/SO(n)}$.

Weblinks

• Werner Müller: Harmonic analysis on locally symmetric spaces and number theory