Reidemeister-Torsion

Im mathematischen Teilgebiet d​er Topologie i​st die Reidemeister-Torsion (auch Reidemeister-Franz-Torsion) e​ine topologische Invariante, m​it der a​uch Räume unterschieden werden können, für welche klassische Invarianten d​er algebraischen Topologie w​ie Fundamentalgruppe u​nd Homologiegruppen übereinstimmen.

Eine Variante d​er heute üblichen Konstruktion w​urde 1935 v​on Kurt Reidemeister verwendet, u​m die Homöomorphietypen 3-dimensionaler Linsenräume z​u klassifizieren. Wolfgang Franz benutzte w​enig später d​ie unten dargestellte Konstruktion u​m auch höher-dimensionale Linsenräume klassifizieren z​u können.

Konstruktion

Sei ${\displaystyle K}$ ein kompakter CW-Komplex mit verschwindender Euler-Charakteristik ${\displaystyle \chi (K)=0}$ und ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}K\to SL(n,\mathbb {C} )}$ eine Darstellung der Fundamentalgruppe.

Sei ${\displaystyle {\widetilde {K}}}$ die universelle Überlagerung, auf der ${\displaystyle \pi _{1}K}$ durch Deckbewegungen wirkt, und ${\displaystyle C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )}$ ihr singulärer Kettenkomplex. Der getwistete Kettenkomplex

${\displaystyle C_{*}(K,\rho ):=C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )\otimes _{\rho }\mathbb {C} ^{n}}$

ist der Quotient des Tensorprodukts ${\displaystyle C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} ^{n}}$ unter der Identifikation ${\displaystyle v\otimes \gamma ^{-1}c=\rho (\gamma )v\otimes c}$ für alle ${\displaystyle \gamma \in \pi _{1}K}$. Der Randoperator ${\displaystyle \partial _{\overline {K}}}$ von ${\displaystyle C_{*}({\widetilde {K}},\mathbb {Z} )}$ induziert einen Randoperator ${\displaystyle \partial$ :=\partial _{\overline {K}}\otimes id} auf ${\displaystyle C_{*}(K,\rho )}$. Um die Reidemeister-Torsion definieren zu können, müssen wir annehmen, dass ${\displaystyle C_{*}(K,\rho )}$ azyklisch ist, also ${\displaystyle ker(\partial )=im(\partial )}$.

Sei nun ${\displaystyle B_{i}:=Bild(\partial )\subset C_{i}(K,\rho )}$ die Untergruppe der Ränder. Wähle eine Basis ${\displaystyle \left\{b_{k}^{i}\right\}_{k}}$ von ${\displaystyle B_{i}}$ und setze sie mit dem Basisergänzungssatz zu einer Basis ${\displaystyle \left\{c_{k}^{i}\right\}_{k}}$ von ${\displaystyle C_{i}(K,\rho )}$ fort. Wegen ${\displaystyle H_{i}(K,\rho )=0}$ haben wir eine exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to B_{i}\to C_{i}(K,\rho )\to B_{i-1}\to 0}$

und können zu den ${\displaystyle b_{l}^{i-1}\in B_{i-1}}$ Urbilder ${\displaystyle {\tilde {b}}_{l}^{i-1}\in C_{i}(K,\rho )}$ finden, so dass ${\displaystyle \left\{b_{k}^{i}\right\}_{k}\cup \left\{{\tilde {b}}_{l}^{i-1}\right\}_{l}}$ eine Basis von ${\displaystyle C_{i}(K,\rho )}$ ist.

Zu den Basen ${\displaystyle \left\{c_{k}^{i}\right\}_{k}}$ und ${\displaystyle \left\{b_{k}^{i}\right\}_{k}\cup \left\{{\tilde {b}}_{l}^{i-1}\right\}_{l}}$ gibt es eine eindeutige Matrix, welche die erste Basis auf die zweite abbildet. Wir bezeichnen die Determinante dieser Matrix mit ${\displaystyle \left[b_{i}\cup {\tilde {b}}_{i-1}\colon c_{i}\right]}$. Dann definieren wir die Reidemeister-Torsion von ${\displaystyle (K,\rho )}$ durch

${\displaystyle \tau (K,\rho )=\pm \Pi _{i\geq 0}{\frac {\left[b_{2i}\cup {\tilde {b}}_{2i-1}\colon c_{2i}\right]}{\left[b_{2i+1}\cup {\tilde {b}}_{2i}\colon c_{2i+1}\right]}}\in \mathbb {C} ^{*}/\left\{\pm 1\right\}}$.

Die ${\displaystyle \pm 1}$-Unbestimmtheit entsteht durch die Abhängigkeit der Determinante von der Anordnung der Basiselemente. Alle anderen Wahlen haben keinen Einfluss auf das Ergebnis, insbesondere heben sich durch das alternierende Produkt die durch die Wahl einer anderen Basis ${\displaystyle b_{i}}$ entstehenden Faktoren gegeneinander auf.

Invarianz

Reidemeister-Torsion ist im Allgemeinen nicht invariant unter Homotopieäquivalenzen und kann deshalb verwendet werden, um homotopieäquivalente, aber nicht homöomorphe Räume zu unterscheiden. Die Reidemeister-Torsion (zu einer gegebenen Darstellung der Fundamentalgruppe) ist invariant unter einfachen Homotopieäquivalenzen.[1]

Eine relative Version d​er Reidemeister-Torsion k​ann benutzt werden, u​m PL-Komplexe z​u unterscheiden, d​ie homöomorph, a​ber nicht PL-äquivalent sind.[2]

Beispiele

• Für den Linsenraum ${\displaystyle L(p,q)}$ und die Darstellung ${\displaystyle \rho _{\xi }\colon \pi _{1}M=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to SU(2)}$ mit ${\displaystyle \rho _{\xi }(1)=diag(\xi ,\xi ^{-1})}$ für eine ${\displaystyle p}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle \xi }$ erhält man ${\displaystyle \tau (L(p,q),\rho _{\xi })=\mid \xi -1\mid \mid \xi ^{q^{-1}}-1\mid }$, wobei ${\displaystyle q^{-1}}$ die Lösung von ${\displaystyle aq\equiv 1\ mod\ p}$, also das Inverse von ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ bezeichnet. Insbesondere erhält man für ${\displaystyle q^{\prime }\not \equiv \pm q^{\pm 1}\ mod\ p}$ unterschiedliche Reidemeister-Torsionen, womit diese Linsenräume nicht homöomorph sein können.[3][4]
• Eine sphärische Raumform ist durch ihre Fundamentalgruppe und ihre Reidemeister-Torsionen aller Darstellungen ${\displaystyle \pi _{1}M\to O(n)}$ eindeutig festgelegt.[5]
• Für eine ${\displaystyle n}$-dimensionale rationale Homologiesphäre ${\displaystyle M}$ und die triviale Darstellung ${\displaystyle \rho }$ ist ${\displaystyle \tau (M,\rho )=\Pi _{i=1}^{n-1}\mid H_{i}(M,\mathbb {Z} )\mid ^{(-1)^{i}}}$, die Reidemeister-Torsion hängt also mit der Torsion der Homologiegruppen zusammen.
• Für ein Knotenkomplement und die mittels der Abelisierung ${\displaystyle ab\colon \pi _{1}(S^{3}\setminus K)\to H_{1}(S^{3}\setminus K)=\mathbb {Z} }$ durch ${\displaystyle \gamma \to t^{ab(\gamma )}}$ gegebene Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}(S^{3}\setminus K)\to \mathbb {Q} (t)}$ ist ${\displaystyle {\tfrac {t-1}{\tau (S^{3}\setminus K,\rho )}}}$ das Alexander-Polynom.[6]

Satz von Cheeger-Müller

Der Satz v​on Cheeger-Müller besagt d​ie Gleichheit v​on analytischer Torsion u​nd Reidemeister-Torsion (bis a​uf Vorzeichen, w​eil die Reidemeister-Torsion n​ur bis a​uf Vorzeichen definiert ist). Er w​urde zunächst v​on Cheeger u​nd Müller für orthogonale o​der unitäre Darstellungen bewiesen[7][8] u​nd später v​on Müller a​uf unimodulare Darstellungen verallgemeinert.[9]

Literatur

• John Milnor: Whitehead torsion. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (1966), 358–426.
• G. de Rham, S. Maumary, M. Kervaire: Torsion et type simple d'homotopie. Exposés faits au séminaire de Topologie de l'Université de Lausanne. Lecture Notes in Mathematics, No. 48, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1967.
• Vladimir Turaev: Torsions of 3-dimensional manifolds. Progress in Mathematics, 208. Birkhäuser Verlag, Basel, 2002. ISBN 3-7643-6911-6
• Kiyoshi Igusa: Higher Franz-Reidemeister torsion. AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 31. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2002. ISBN 0-8218-3170-4
• Liviu Nicolaescu: The Reidemeister torsion of 3-manifolds. De Gruyter Studies in Mathematics, 30. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. ISBN 3-11-017383-2

Weblinks

• Reidemeister Torsion (MathWorld)

Einzelnachweise

1. T. A. Chapman: Topological invariance of Whitehead torsion. Amer. J. Math. 96 (1974), 488–497.
2. John Milnor: Two complexes which are homeomorphic but combinatorially distinct. Ann. of Math. (2) 74 (1961), 575–590.
3. Kurt Reidemeister: Homotopieringe und Linsenräume. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 11: 102–109 (1935).
4. Wolfgang Franz: Über die Torsion einer Überdeckung. J. Reine Angew. Math. 173 (1935), 245–254.
5. Georges de Rham: Complexes à automorphismes et homéomorphie différentiable. Ann. Inst. Fourier Grenoble 2 (1950), 51–67 (1951).
6. John Milnor: A duality theorem for Reidemeister torsion. Ann. of Math. (2) 76 (1962), 137–147.
7. Werner Müller: Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds. Adv. in Math. 28 (1978), no. 3, 233–305.
8. Jeff Cheeger: Analytic torsion and the heat equation. Ann. of Math. (2) 109 (1979), no. 2, 259–322.
9. Werner Müller: Analytic torsion and R -torsion for unimodular representations. J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), no. 3, 721–753.